Page 50 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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50 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE
Pour une barre ronde : k = F* , F* = (π 4) H 2σ * et F* = H πσ * 2 ; les relations 3.1.3. et 3.1.4. deviennent
( )V = π H3σ * π HL 4 + πσ *Ve 4 et W = 1+ Ve πσ *3 2 H L . 3.1.11. et 3.1.12.
En d'autres termes, ce n'est que si, et seulement si, le volume de l'œillet croît comme le cube de la largeur de la
barre que W = 1 + n H L , avec n = π Veσ *3 2 . 3.1.13.
C'est à peu près ce que l'on peut faire de mieux en pratique et, la forme de tous les œillets industriels étant approxi-
mativement identique, leur volume est en effet proportionnel à H3.
En fait, le facteur n caractérise non seulement la géométrie de l'œillet, mais également la contrainte admissible σ e
de son matériau.
En définissant m π le facteur propre à la géométrie, son volume peut s'exprimer sous la forme
Ve = m [ π (σ e F1 ) 3 2 ] et donc n = m (σ σ e )3 2 . 3.1.14. et 3.1.15.
Il en découle W = 1+ m (σ σe )3 2 H L ou W = 1+ m(σr σe )3 2 H L , 3.1.16.
si l’on utilise la contrainte de rupture en traction du câble.
Cette relation permet de comparer l'efficacité géométrique de différents œillets industriels, σ ou σr et σe étant con-
nus ou, à l'inverse, connaissant m et σ, de déterminer σe (donnée que beaucoup de fabricants ne souhaitent pas com-
muniquer).
La figure 3.1.6 donne le poids Pe des œillets du type “open spelter socket” en acier inoxydable présentant une
limite élastique minimum de 630 MPa, utilisés par la firme allemande Pfeifer [22], en fonction du diamètre H du
câble, dont la contrainte de rupture est de σr = 1450 MPa.
Comme une taille d'œillet convient pour plusieurs diamètres de câble, la courbe de régression pour les plus petits
diamètres par œillet vaut Pe [N ] = 0, 0041H[3m,0m50] 6 avec un coefficient de détermination de R2 = 0,9982, la courbe de
régression pour les plus grands diamètres par œillet vaut Pe [N ] = 0, 0013H[3m,2m61] 2 avec R2 = 0,9988, et la courbe de
régression pour l'ensemble des diamètres vaut Pe [N ] = 0, 0024H[3m,1m5] avec R2 = 0,9966. Elle est très correctement
approximée (R2 = 0,9951) par : Pe [N ] ≈ 0,00489H[3mm] . 3.1.17.
Avec ρ = 76,52 kN m3 , le volume du câble avec deux œillets vaut V = ΩL + 2 Pe ρ et
( )W = 1+ 2 Pe
( ρ ΩH ) H L = 1+ 8 Pe πρ H3 H L , soit W ≈ 1 + 162,7 H L . 3.1.18.
Donc, avec 3.1.16., m = 162,7 ⋅ (630 1450) 3 2 ≈ 46,61 , 3.1.19.
et la formule générale 3.1.16. peut s'écrire, en faisant l'hypothèse de la généralité de cette valeur de m :
W =1+46,61(σr σe )3 2 H L . 3.1.20.
La figure 3.1.7. donne le poids Pe des œillets similaires du type “fork end connector” en acier inoxydable proposés
par la firme anglaise McCall [23] en fonction du diamètre H de la barre pleine, dont la contrainte de rupture est de
σr = 460 MPa.
Une taille d'œillet correspond ici à un diamètre de barre, et la relation entre poids et diamètre peut dès lors s'écrire
Pe [N ] ≈ 0, 00009H[3mm] avec R2 = 0,9997. 3.1.21.
Pour cette combinaison de barre et d'œillets, W ≈ 1+ 29,95 H L . 3.1.22.
Le multiplicateur du terme H L est donc 5,43 fois plus petit que dans la relation 3.1.18., ce qui correspond
approximativement au rapport de la contrainte de rupture des câbles à celui de la barre, exposant 3 2 ; en effet,
(1450 460)3 2 ≈ 5,60 .
