Page 52 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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52 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

p

N H N H ,v L* d1 d2
N H ,h L d3 NH

Lc= L + d1 x
δc

δc

y

Figure 3.2.1.

La longueur Lc de la déformée du câble reste L + d1 (comme s'il était inextensible) car, en effet, il n'est toujours sol-

licité axialement que par NH qui pivote sur appui. Donc :

Lc = L + d1 = L (1 + kσ E ) = L* + d2 . 3.2.3.

Soit un système d'axes (x,y) dont l'origine est placée au milieu de l'horizontale joignant les appuis distants de L*, δc

le symbole de la déformation verticale maximale, δ * = δc L* la déformation maximale relative, x* = x L* l'abs-
c

cisse relative, y* = y L* l'ordonnée relative et L*c = Lc L* la longueur relative de la déformée.
Les équations de la déformée, de sa dérivée, de sinα, cosα, tanα et de sa longueur sont alors :

( )y* ; ∂y* ∂x* = y*′ = −8x*δc* .
= δ * 1 − 4 x*2 3.2.4. et 3.2.5.
c

tanα = −4δc* ; cosα = 1 1 + 16δ *2 ; sin α = −4δ * 1 + 16δ *2 ; 3.2.6. à 3.2.8.
c c c 3.2.9. et 3.2.10.

1/ 2 1  + 1 arcsinh  3.2.11. et 3.2.12.
∫ ( )L*c 0 2  .
=2 1 + y*′2 dx* ou L*c =  1 + 16δc*2 4δ * 4δ c* 
c

Pour δc* très petit, la relation 3.2.9. peut s'écrire :

∫L*c=2 1/ 2 1 + y*′2 2  dx* et L*c ≈ 1 + 8 δ *2 ,
0  3 c

1 + 8  1  32  δc 2  8 δ 2
3  2 1 3  Lc   c
d'où L* = Lc δ *2 = Lc  + 1−  ≈ Lc − . 3.2.13.
c  3 Lc

L'expression 3.2.12. surestime L*c par rapport à l'expression 3.2.10. d'un pourcentage minime qui vaut :
6,39 ⋅10−6 % * 10−4 % δc* = 1/ 50 , 3,9 ⋅10−3 % * 6 ⋅10−2 %
pour δ c = 1 / 100 , pour pour δ c = 1/ 20 et pour

δc* = 1/10 . Elle est donc suffisamment fiable.

Le déplacement d2 de l'appui à rouleau par rapport à sa position lorsque le câble est horizontal et tendu par NH vaut

donc :

d2 = Lc − L* , d'où, avec 3.2.12. : d2 = 8 δ *2 L* ou, avec 3.2.13. : 3.2.14.
3 c

d2 = 8δ *2 Lc = 1 Lc − L2c − 8 δc2 ≈ 8 δc2 = 8 δc2 ≈ 8 δc2 . 3.2.15.
c 2 4 3 3 Lc 3 + kσ 3 L

3 + 8δ *2 L (1 E )
c