Page 53 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 53

Enfin, le déplacement d3 de l'appui par rapport à sa position initiale vaut :

( )d3 = d1 − d2 = L kσ 
E − 8δ *2 L* (3L ) = L kσ E − 8 (1 + kσ E) δ *2 3 + 8δ *2  ,
c c c

d3 ≈ Lkσ E − 8δ 2 (3L) . 3.2.16.
c

La réaction verticale sur appui vaut : NH,v = NH sinα = kσ Ω sinα . 3.2.17.
3.2.18.
Et, d'autre part : N H,v = p (L + d1 ) 2 = pLc 2 = pL (1 + kσ E ) 2 .

On obtient donc, avec 3.2.8. :

δ * = pL 1 + kσ  1 − p2L2 1 + kσ 2 . 3.2.19.
c 8k Ωσ E  4k2Ω2σ 2 E 

Lorsque p est réduit au poids propre p = ρ Ω :

δ c* = ρL 1 + kσ  1− ρ 2 L2 1 + kσ 2 . 3.2.20.
8kσ E  4k2σ 2 E 
3.2.21.
Le deuxième terme sous racine étant très petit : 3.2.22.
3.2.23.
δ * = ρL 1 + kσ  ≈ ρL .
c 8kσ E  8kσ

L'élancement du câble vaut alors : 1 / δ * = µ = 8kσ (ρL) .
c

Et sa longueur limite en fonction de µ : L = 8kσ ( ρµ ) .

L'allongement d2 du câble vaut alors, avec 3.2.15. et 3.2.20. :

d2 = ρ 2L3 (1 + k σ E )2 [24k2σ 2 − 6ρ 2L2 (1 + k σ E )2 ] ,

( )d2 ≈ ρ2L3 24k2σ 2 . 3.2.24.

Enfin, le déplacement de l'appui à rouleau par rapport à sa position au repos vaut :

d3 ≈ σ − ρ 2 L3 . 3.2.25.
Lk 24k2σ 2

E

Le tableau 3.2.2. ci-dessous précise la valeur de ρ σ et σ ρ pour les nuances d'acier déjà considérées, ainsi que

le bois et l'acier HR.

Eσ ~1340 (S235) ~1110 (bois) ~887 (S355) ~150 (HR)
ρ σ [m−1] ~4,91 ⋅ 10 -4 ~6,00 ⋅10-4 ~3,25 ⋅10-4 ~6,54 ⋅10-5
σ ρ [m] ~2037
~1667 ~3077 ~15291

Tableau 3.2.2.

La figure 3.2.3. donne, à partir de la formule 3.2.21., les valeurs de µ en fonction de L pour ces quelques matériaux
connus, mais également, en acceptant alors que kσ E = 0 , pour un champ plus étendu de kσ ρ [m] . Ce rapport
peut en effet atteindre des valeurs très élevées (comme par exemple pour un câble en Kevlar pour lequel
σ ρ = 147000 m ) ou des valeurs très basses (comme par exemple pour une tige en acier doux sollicité au dixième
de sa contrainte admissible, pour laquelle kσ ρ = 0,1⋅ 2040 = 204 m ).
L'influence négligeable de kσ E sur µ est confirmée par la deuxième ordonnée dressée pour sa plus grande valeur
pratique correspondant au fil de polyester utilisé dans les textiles structuraux et pour lesquels :
σ E ≈ 0,065 ( σ ≈ 53 MPa , E = 820 MPa ).
À µ = 1000 pour kσ E = 0 correspond µ = 940 pour kσ E = 0, 065 .