Page 58 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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58 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE
3.4. L'EFFET D'ÉCHELLE
L'expression de l'indicateur de volume de l'élément en traction présente dans tous les cas examinés ici la forme
W = 1 + n H L (avec n très variable selon le type d'assemblage), ce qui permet d'isoler directement le supplément
d'indicateur dû à l'assemblage ;
il vaut : ∂W = n H L . 3.4.1.
Il est donc invariable pour un matériau et un type d'assemblage donné, pour autant que l'élancement L H de tous
les composants en traction de la structure reste constant.
Pour un câble équipé de deux œillets, fixé au support à l'aide de dispositifs supposés consommer la même quantité
de matière, la relation 3.1.18. devient ∂W ≈ 325 H L . Il doit ainsi présenter un élancement L H ≥ 1300 pour que
∂W ≤ 0, 25 . L'ancrage des éléments en traction du treillis dont question en 2.9. ci-avant, réalisés en un ou, si néces-
saire, plusieurs câble(s) répondant à cette condition, provoque donc le même supplément d'indicateur que celui qui
avait été acté pour les éléments comprimés.
L'augmentation globale de l'indicateur de volume de ce treillis, soit 25%, est donc pour moitié due à la prise en
compte de l'instabilité élastique et pour moitié aux assemblages des éléments tendus.
Ce n'est que par la décomposition en plusieurs brins, afin de maîtriser le H L de chacun de ceux-ci, qu'il est possi-
ble de limiter le supplément d'indicateur dû à l'assemblage et de le rendre indépendant de la taille de l'ouvrage.
Il est donc intéressant de formuler de manière générale cette pénalité de volume due aux assemblages de ce type, en
se référant à nouveau au système à barres du paragraphe 1.
Il découle de la relation 3.1.16. que :
k =i σ σk 3 2 h1k
σk σ e,k l1k
=∑∂W f1k l1k mk , 3.4.2.
k =1
ou, lorsque toutes les barres tendues sont en un même matériau présentant la contrainte admissible σa, différente de
celle des éléments comprimés, σ, utilisée comme référence pour W, et le même type d'assemblage caractérisé par m
et σe :
=∑∂Wm σ σa k =i h1k pour les barres tendues, 3.4.3.
σ l1k
32 f1k l1k
e
k =1
k =i
∑qui vient en plus de W = f1kl1k .
k =1
L'influence de la taille absolue (par l'intermédiaire de h1k l1k = hk lk ), des contraintes admissibles des matériaux
constitutifs tant des éléments en traction (σa) ou en compression (σ) que des assemblages (σe), ainsi que du type
d'assemblage (par l'intermédiaire de m), apparaît clairement.
3.5. LE BALLON LÉGER
Une membrane sphérique de diamètre H et d'épaisseur de paroi e en un matériau présentant une contrainte admissi-
ble σ, contenant un gaz plus léger que l'air ambiant (tel l'hélium) à même pression et température, est aussi une
structure capable de porter à une hauteur L une charge F, suspendue uniformément à sa circonférence horizontale
(figure 3.5.1.).
Comme sa force de levage par unité de volume vaut approximativement ∂ρ = 10H m3 dans un air légèrement
humide (plus dans un air sec) à 20°C et à pression atmosphérique normale, et que son volume enclos vaut
πH3 6, 3.5.1.
sa force de levage vaut F = 10π H3 6 = 5π H3 3 ≈ 5,24H3 3.5.2.
(soit 5H 2 3 ≈ 1,67H2 par unité de longueur le long de la circonférence).
Cette force est équilibrée par un effort circonférentiel dans la membrane, sous contrainte σ, valant πσ He (ou σe
par unité de longueur le long de la circonférence). 3.5.3.
Il en résulte que σ e = 5H2 3 ≈ 1,67H 2 . 3.5.4.
