Page 63 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 63
En ce qui concerne les treillis, les quatre familles de treillis représentées en figure 4.1.2. sont analysées.
De manière approximative et simplifiée :
– le treillis “classique” HOWE-PRATT se réfère aux treillis, brevetés aux USA par HOWE en 1852 et par PRATT
ensuite, composés de mailles rectangulaires sous-tendues par les diagonales en compression (HOWE) ou en trac-
tion (PRATT) ;
– le treillis “classique” WARREN se réfère au treillis inventé par NEVILLE et breveté en Angleterre par WARREN
en 1848, composé de mailles en triangles isocèles [26]. Le treillis en croix est une variante du treillis WARREN ;
– le multitreillis est un treillis dont les bases de maille sont elles-mêmes des treillis et ainsi de suite ;
– le treillis à liernes multiples est équipé de liernes reliant le sommet de chaque maille à une série de points équi-
distants de leur base ; il est breveté [27].
Dans ces deux dernières familles, la charge peut être uniformément répartie sur la membrure inférieure.
Il peut être établi [1] que, pour tous ces arcs et poutres (k1 à k4 étant des nombres réels) :
W = k1 H L + k2 L H et 4.1.1.
∆ = k3 H L + k4 L H . 4.1.2.
Il peut également être démontré, toujours lorsque les charges sont appliquées aux nœuds, que les treillis dont les
membrures supérieure et inférieure restent horizontales et parallèles sont toujours plus légers que ceux dont l'une de
ces membrures, ou les deux, sont courbes (tels que sur la ligne inférieure de la figure 4.1.2.).
Ce n’est plus le cas lorsque la charge p est uniformément répartie sur une, ou les deux, membrures longitudinales et
qu’il n’est pas fait usage de multitreillis ou de treillis à liernes multiples. Il y a dans ce cas intérêt à réduire la lon-
gueur des segments entre nœuds de ces membrures pour y limiter la matière additionnelle induite par la flexion
sous p. La configuration optimale, suite à cette augmentation du nombre de mailles du treillis, s’obtient alors et
selon les cas pour une, ou deux, membrures circulaires ou elliptiques. Ces treillis sont cependant toujours plus
lourds que les treillis multiples ou à liernes.
Ces questions sont étudiées au chapitre II.
Pour les TREILLIS à n mailles énumérés ci-dessous et chargés sur leur membrure inférieure, sous charge unifor-
mément répartie :
– PRATT ou HOWE :
Wn = n H + 2n2 + 3n − 2 L et ∆ =nH +n+2 L . 4.1.3. et 4.1.4.
2 L 12n2 H L 4n H
La courbe enveloppe des minima correspond aux treillis à mailles de proportions comprises entre L (nH ) = 3 et
L (nH ) = 2 .
– WARREN :
n pair : W = n H + 4n2 + 3n − 4 L et ∆ = n H + n+1 L ; 4.1.5. et 4.1.6.
2 L 24n2 H L 4n H
n impair : W = n2 −1 H + 4n3 + 3n2 − 4n − 3 L et ∆ = (n −1) H + n2 +n−2 L . 4.1.7. et 4.1.8.
L 4n2 H
2n L 24n3 H
La courbe enveloppe des minima correspond à n = 2 ; elle est pratiquement réalisée par les segments des courbes de
treillis au plus petit nombre de mailles en limitant l'élancement de celles-ci à L (nH ) = 2 2 . Le treillis en croix
présente un W similaire à celui du WARREN ; il est proche de l'optimum pour une maille carrée. Il a plus de nœuds
mais ses barres sont plus courtes et donc moins sujettes à instabilité.
Le treillis HOWE-PRATT ou WARREN de hauteur constante pour lequel chaque famille de barres (supérieures,
inférieures, verticales ou diagonales) est constituée d'éléments de section identique à la plus sollicitée d'entre elles,
est étudié en détail au chapitre II. Il est de l'ordre de 40% plus lourd que les treillis ci-dessous, où chaque barre tra-
vaille à même contrainte.
