Page 64 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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64 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

– MULTITREILLIS WARREN HOMOGÈNE :
Dans ce cas, les bases des n mailles sont elles-mêmes des treillis à n mailles, la subdivision étant menée à l'infini.

n pair : W = n2 H + 4n2 + 3n − 4 L ; 4.1.9.
L H
2(n −1) 24n(n −1)

n impair : W = n + 1 H + 4n3 + 3n2 − 4n − 3 L . 4.1.10.

2 L 24n2 (n −1) H

L'optimum optimorum W = 2 5 / 3 ≈ 1, 491 est obtenu pour un treillis à trois mailles et L / H = 6 / 5 ≈ 2,683 . Il
en découle qu'un MULTITREILLIS WARREN “VARIABLE”, où les bases des n mailles sont des treillis optimum
à trois mailles et où la subdivision avec ce treillis optimum à trois mailles est menée à l'infini, est plus léger.
Son indicateur de volume vaut : W (du treillis de base à n mailles) + 1, 491 / n .

– WARREN MULTI-LIERNES, équipé d'une infinité de liernes par maille et dont le segment de membrure infé-
rieure est de section variable de manière à être en tout point sollicité à σ :

n pair : W = n + 2 H + 4n2 + 3n + 2 L et ∆ = (n − 1) H + n2 +n −1 L ; 4.1.11. et 4.1.12.
L 4n2 H
2L 24n2 H

n impair : W = n2 + 2n + 1 H + 4n3 + 3n2 + 2n + 3 L et ∆ = (n + 1) H + n2 + n −1 L . 4.1.13. et 4.1.14.
2n L 24n3 H L 4n2 H

Pour la POUTRE DROITE continue de section symétrique constante Ω, d’aire réduite Ω',de moment statique Sn,

de moment d'inertie I et présentant une largeur matérielle b, sous charge uniformément répartie :

W = ΩH 2 L [4.1.15.] avec un minimum W = 3 SnΩ [4.1.16.], correspondant à la limitation de la contrainte de
16I H 2 Ib

( )cisaillement τ = σ 3 sur appuis (lorsque l'élancement L H ≤ 8 3 Sn bH 2 ). Cette relation peut encore s'écrire

W = Z L H , en appelant Z = ΩH 2 (16I ) le facteur de forme de la section.

Avec v = 0,3 et 4(1+ν ) = 5,2 , ∆ = 5,2 I H+ 5 L , 4.1.17.
Ω′H 2 L 24 H

le premier terme correspondant aux déformations dues au cisaillement (négligé en première approximation à la

figure 4.1.4.).

Le cas de la poutre de section variable est analysé au chapitre III.

Pour les ARCS PARABOLIQUES énumérés ci-après, de section variable, de manière à être sollicités en tout point
à σ [ou entre crochets Wc et ∆c pour les arcs paraboliques de section constante, σ étant maximum aux naissances
des arcs], on obtient les relations suivantes 7 :

– Arc simple bi-articulé, soumis à une charge verticale uniformément répartie sur l'horizontale :

W =2H+1 L  1  4H L   L 2  4H  4H 2 
3 L 8H Wc 4  4H 1 +  4H  ln  L  L  
 =  +  1+ + 1+   . 4.1.18. et 4.1.19.
 L   

∆=H+1 L ; 4.1.20.
L 4H

    2  
∆c 4 H L 2 1 1  L  4H  4H   1 
 = 6 L + 4H + 2 ln  L + 1+ L  − . 4.1.21.
 3 1+ (4H L )2  4H   3 
    

7 Il faut rappeler qu'il n'est pas encore tenu compte ici de la contrainte admissible de 5 à 10 fois plus grande pour les câbles ou les barres exclu-
sivement tendues (5 à 10σ ) que pour les éléments comprimés et fléchis de structures en acier (σ ).