Page 59 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 59

En vertu de la loi de l'hydrostatique, cet effort est également équili- 1 ∂ρH = 5H
bré par une surpression, croissant linéairement de 0 à l'équateur à 2

∂ρ ⋅ H 2 ≈ 5H au sommet de la demi-sphère supérieure, et une + 5H

dépression d'égale valeur dans la demi-sphère inférieure 5.

Suivant la loi des gaz parfaits, surpression et dépression s'équili-

brant, le volume enclos par la membrane reste inchangé mais sa e = 5 H2 5H 2 3
forme d'équilibre n'est plus parfaitement sphérique. 3 σ
L'intégrale de la composante verticale de la surpression sur la demi- 5πH3
sphère supérieure correspond bien à la demi-force de levage ; en V = 5π H4 3
effet (figure 3.5.2.) : 3σ
Figure 3.5.1.
( )∫ ∫π 2 5H sin2 α (π H cosα ) H dα = 20π H 2 z2dz = 5 π H3 . 3.5.5. F = 5H2
0 2 06 πH 3

Une légère surpression uniforme p = ∂ρ H 2 est donc nécessaire
pour éviter la mise en compression de la membrane dans sa demi-
sphère inférieure. Elle y engendre une contrainte supplémentaire et

uniforme de traction de (5H ⋅ H 2) 2 = 5H 2 4 . Cette surpression

s'obtient aisément en augmentant légèrement la quantité d'hélium
dans le volume enclos.
La pression intérieure est maximum au sommet et vaut 10 H. La con-

trainte maximum dans la membrane vaut alors :

( )σ = 5H 2 3 + 5H 2 4 e , ou : 3.5.6. (π H cos α ) H ∂α z
3.5.7.
σ e = 35H2 12 ≈ 2,92H2 , et : 3.5.8. 2

H = 12σ e 35 ≈ 0,586 σ e . 3.5.9. H ∂α 5H sin2 α p = 10z
Le volume de matière de l'enveloppe vaut : 2 = 5H sinα
V = π H2e ,
soit, en fonction des relations 3.5.2. et 3.5.7. : ∂z =  H cos α  ∂α z = H sinα
  2
2  ∂α α x

x = (H 2)cos α

V = (35 12) π H 4 σ ≈ 9,16 H 4 σ = 1,75 FH σ , 3.5.10. H

et son poids vaut : V ρ ≈ 9,16 ( ρ σ ) H 4 . 3.5.11. Figure 3.5.2.

En vertu de 3.5.2. et 3.5.11. : V F = 1, 75 H σ et V ρ F = 1, 75 H ρ σ . 3.5.12. et 3.5.13.

Le volume et le poids propre de cette enveloppe par unité de charge portée croissent donc comme son diamètre.
Des relations qui précèdent, on déduit qu'il y a donc théoriquement tout intérêt à utiliser n3 sphères de diamètre
H n , d'épaisseur de paroi e n2 et de poids V ρ n4 (pesant en tout V ρ n ), en lieu et place d'une sphère de diamè-

tre H, d'épaisseur de paroi e et de poids V ρ pour porter la charge F. Cela augmente aussi la sécurité du dispositif,

la ruine d'une sphère ne provoquant pas la ruine de l'ensemble. ll offre par contre une plus grande prise au vent, qui

est minimum lorsque les sphères sont disposées en empilement hexagonal compact.

Bien que cette remarque soit intéressante pour des sphères réalisées en membrane présentant une faible résistance à la

traction, l'emploi efficace de feuilles en matériaux performants à leur épaisseur minimum limite leur taille inférieure.
En effet, bien que les films plastiques de haute résistance soient disponibles dans des épaisseurs aussi faibles que 15 µm,
tout comme les films aluminium couramment utilisés en cuisine ménagère (avec σ = 100 MPa) et que les tôles des
canettes de boissons gazeuses en acier (σ = 413 MPa pour le “Tinplate” selon www.sidstahl.com) ou en alliage d'alumi-
nium le soient en épaisseur usuelle de 130 µm, il est raisonnable de poursuivre le raisonnement avec des épaisseurs de
membrane plus usuelles, soit 50 µm pour les films en résines plastiques performantes telles que le Nylon et 300 µm

pour les tôles minces en acier (σ = 273 MPa). La figure 3.5.3. avec son tableau précise les valeurs de e, p, F et F (V ρ )

pour ces deux matériaux. Le raisonnement peut aussi être mené pour les alliages à base d'aluminium ou de titane.

5 Tel que précisé à l'auteur par Domenico Olivari dans son courrier du 2002-05-03.