Page 55 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 55

Toutes autres choses restant égales, le câble se tend et δc* diminue de manière à ce que la composante verticale du
nouveau NH équilibre toujours les forces verticales qui n'ont pas changé (figure 3.2.6.).

En vertu de 3.2.24. : d1 = k Lσ
E
( )∂d2 ∂ (kσ ) = − ρ ²L³ 12k³σ 3 et, 3.2.32. L
NH Ω NH
N H + ∂N H
en vertu de 3.2.25 : L(1 + kσ / E)

( )∂d3 ∂ (kσ ) = L E + ρ ²L³ 12k³σ 3 . 3.2.33. p ∂k Lσ E

L'allongement du même câble supporté horizontale- ∂d1
ment est par contre : N H + ∂N H

∂d1 ∂ (kσ ) = L E . 3.2.34.

Le câble déformé peut dès lors être assimilé à un NH d3 d2
NH
câble droit, pour autant que le module d'élasticité E de N H,v = p(1 + kσ / E)L / 2
α δc
ce dernier soit remplacé par le module apparent Ea :

Ea = E . 3.2.35. p[1+ kσ / E] /[1+ (k + ∂k)σ / E]
1+ ρ²L² E

12k³σ ³

Ou, plus généralement, lorsque la corde du câble N H + ∂N H d3 + ∂d3 d2 + ∂d2
prend un angle β avec l'horizontale : N H + ∂N H
NH ,v = p(1 + kσ / E)L / 2
HR(E 1 )
Ea,β = E 3.2.36. α − ∂α δ c − ∂δ c HR(E 2 )

( ρL cos β )2 .
1+ E Figure 3.2.6.
12k³σ ³
3

Cette relation fut mise en évidence en 1965 par H.J. 1
ERNST [24].

Il en découle l'indicateur de déplacement : 0,9 1
∆
∆= E ( ρL cos β )2 3.2.37.
0,8
=1+ E .
Ea,β 12k³σ ³

Pour les câbles et haubans de structures extérieures, 0,7 S355
ρ doit être augmenté pour tenir compte du poids du 0,6 S255
givre (parfois non négligeable) ; ce qui suit n'en tient 0,5 β = 0
pas compte.
k =1
La figure 3.2.7. précise le 1 ∆ en fonction de L[m]
pour β = 0, pour le bois, les aciers S235, S355 et 0,4
l’acier HR (avec σ = 1200 MPa, E1 = 210000 MPa 0,3
pour les barres et câbles à fils parallèles et 0,2
E2 = 120000 MPa pour les câbles spiralés les plus
souples). Il en résulte que, contrairement à l'indica-
teur de volume, l'indicateur de déplacement est très

sensiblement influencé par les caractéristiques physi- 0,1 100 200 300 bois
ques du matériau (ρ, σ et E). Figure 3.2.7.
0 L
Les figures 3.2.8. et 3.2.9. précisent le 1 ∆ en fonction 0 400
m
de L[m] pour les deux types de câbles en acier HR, pour
différents taux de travail. Elles montrent la grande sen-

sibilité de 1 ∆ , et donc de Ea, à la valeur de k, le câble
étant d'autant plus raide que la contrainte dont il est le

siège est proche de la contrainte admissible.

Les figures 3.2.10. et 3.2.11. illustrent, pour E1, l'influence de β sur 1 ∆ en fonction de L[m] et ce pour k = 1 et
k = 0,1. La sensibilité de l'état de contrainte du câble est à nouveau visible.