Page 48 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
P. 48
www.academieroyale.be
48 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE
La généralisation est étendue en permettant à chaque élément de présenter ses propres contrainte admissible σ k ,
contrainte critique σcr,k et module d'élasticité Ek .
Dans ce cas, le supplément de volume de matière à consentir pour tenir compte de l'instabilité élastique vaut, pour
les seules barres comprimées et en vertu de la relation 2.2.1. :
∑ ∑∂V= k =i 1 −1 = k =i Λ 2
k =1 fk lk σ cr,k σk k =1 fk lk k . 2.9.6.
σk
La relation 2.9.5. s'écrit ici : Λ2k = Ωk hk2 σ 2 lk , et : 2.9.7.
ck Ik k 2.9.8.
Ek 2.9.9.
∑∂V = k =i Ωk hk2 σk fk lk2 .
k =1 ck Ik Ek
Le supplément d'indicateur de volume vaut alors (avec f1k = fk F et l1k = lk L ) :
σ k =i Ωk hk2 σk f1k l12k
L
∑∂W = ∂V =σ ,
FL k=1 ck Ik Ek
ou, en posant nk = Ωk hk2 σk : 2.9.10.
ck Ik Ek
k =i 2.9.11.
∑∂W = σ L nk f1kl12k .
k =1
Lorsque toutes les barres comprimées sont en un même matériau et présentent les mêmes caractéristiques géométri-
ques transversales, nk = n , et :
k =i 2.9.12.
∑∂W = nσ L f1kl12k pour les barres comprimées,
k =1
k =i
∑qui vient en plus de W = f1kl1k .
k =1
L'influence de la taille absolue et de la contrainte admissible apparaît clairement, mais aussi l'influence accrue de la
longueur relative des barres comprimées.
3. La barre droite en traction et le ballon léger
3.1. LES ANCRAGES
L'indicateur d'une barre verticale en traction vaut W = σ V FL = V ΩL = 1 lorsqu'il n'est pas tenu compte des
ancrages.
L'exemple de la barre à béton a déjà été évoqué en 1.3.1., mais une analyse plus détaillée du sujet, dont le début est
inspiré par COX [8], est cependant souhaitable compte tenu de la présence fréquente de ce type d'élément dans les
structures composées.
Soit un ensemble comprenant une barre et deux œillets en ses extrémités (figure 3.1.1.). La barre est de longueur l
et en un matériau présentant une contrainte admissible σ, qui peut être différente de celle σe des œillets.
L'ensemble (qualifié de unitaire) est soumis à une force de traction unitaire F1 ; il en découle donc que la section de
la barre (choisie ici rectangulaire) Ω = BH = F1 σ .
Chaque œillet, dont on fixe ici aussi l'épaisseur à B, présente un tracé plan optimisé et donc supposé tel que son
volume ne puisse être inférieur à Ve pour transmettre la force unitaire ; il en découle que Ve = cBH2 où c est une
constante caractérisant sa forme optimale.
