Page 44 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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44 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

Il est à noter que le calcul exact du déplacement conduit à (figure 2.8.4.) :

( )(L )2 + 1 + σ 2  1 − σ 2
−δ E  H2 = E  L2 + H 2 ,

F ou 1 − δ 2 = 1 − σ 2 −4σ  H 2 , 2.8.3.
L  E  E  L  2.8.4.
σ L2 + H 2 2.8.5.
1− 2 et, dès lors : 2.8.6.

E 2.8.7.

∆ = Eδ = E −  E − 12 − 4  H 2 .
σL σ  σ  L 
L−δ =

1− σ 2 4σ H2 L'effort dans les côtés du losange devient :

L2 −
EE 2
1 σ  1 − σ  4σ
F − E  L2 + H 2 2 E L2 − E H2 ;

celui dans la barre centrale :

F F 1 + σ  H 1 − σ 2 L2 − 4σ H2 ;
E  E  E
σ
1− H et l'indicateur de volume :

E 1 − σ 2 + 2  σ 2   H 2
E  1 +  E    L 
Figure 2.8.4.  
W = .
2 2
1 − σ  − 4σ  H 
E E  L

Ce n'est donc que pour δ L très petit que l'équation 2.8.3. peut s'écrire :

1− 2 δ = 1− 2σ + σ 2 − 4σ  H 2 , ou :
L E  E  E  L 

Eδ =1− σ + 2  H 2 . 2.8.8.
σL 2E  L 

Il s’ensuit qu'il faut en outre que σ E soit petit pour que les formules 2.8.1. et 2.8.2. soient d'application.

Cette remarque illustre les limites de l'approche en ce qui concerne les effets du second ordre.
La figure 2.8.5. illustre deux paires de structures réalisées en tube carré en acier S235 avec ΩH 2 I = 6,2 et dont le

comportement au flambage répond à la courbe “a” de la figure 2.2.1. Chaque paire comprend un losange étré-

sillonné à nœuds rigides (ou un tripode) et un tube simple présentant le même W. Ce dernier est déterminé pour le

losange en multipliant celui des composants, tel que calculé en 2.5. ci-avant, par celui découlant de la relation 2.8.1.

L'élancement du tube présentant le même indicateur de volume est déterminé par le terme de gauche de la formule
2.2.6. (en considérant µ = 1).

Il est finalement possible d'équiper l'élément comprimé biarticulé de longueur L avec des haubans non précon-
traints pour en réduire la longueur de flambage à L 2 . La colonne présente une largeur h, une section Ω et un
module d'inertie I, et est réalisée en un matériau présentant un module d'élasticité E. Les haubans, de section Ωc et
en un matériau présentant un module d'élasticité Ec, relient les extrémités de la colonne en s'en écartant, à l'aide de
butons, de longueur H 2 à mi-hauteur (figure 2.8.6.).