Page 40 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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40 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

Il est cependant possible de modifier σ, et E dans les mêmes proportions, en changeant la microstructure du maté-
riau, comme vu précédemment.
Une barre pleine ronde ou carrée, de section Ω, peut, par exemple, être remplacée par un très grand nombre (n2) de

tubes ronds ou carrés, chacun de section Ω n2 , de diamètre ou de côté H, d'épaisseur e, avec k = e H . 4

L'hypothèse du très grand nombre est prise pour pouvoir continuer à considérer que la matière est uniformément

répartie sur la section et que son moment d'inertie I est donc indépendant du pourcentage de vides.
La contrainte admissible apparente σa et le module d'élasticité apparent Ea de ce “matériau allégé” valent alors :

σ a = 4k (1− k )σ et Ea = 4k (1 − k ) E . 2.6.1. et 2.6.2.

À même capacité portante, l'élancement de la grappe de 1 σa = 2 k −k2
σ
tubes sera donc 2 k − k2 fois plus petit que celui de la

barre pleine. 0,8

Les tubes ronds ou carrés du commerce présentent des

valeurs de k aussi basses que 0,02 ; pour cette valeur, 0,6

σ a σ = Ea E = 0,28 . 0,4 0,1 0,2 0,3 k
Figure 2.6.1. 0,4 0,5
La figure 2.6.1. illustre 2 k − k2 . 0,2
Le bois feuillu ou résineux est typiquement un matériau
présentant ce type de microstructure, ses autres caracté- 0
ristiques ne lui permettent cependant pas de se classer 0

parmi les matériaux les plus performants, σ a Ea res-

tant toujours relativement élevé ; avec Ea = 3800 σ a

pour le chêne et 3480 σ a pour les résineux (σa et Ea exprimés en MPa) : σa Ea = σ 1 4 61, 6 ou σ 1 4 59 , soit
a a

σ a Ea = 1 1100 ≈ 1 33,2 pour les résineux à σa = 10 MPa.

Ce raisonnement peut être poursuivi pour un élément en acier, en considérant pour la simplicité que σ σcr = 1+ Λ2

(courbe “d” de l'Eurocode) et la nuance S355, avec E = 210.000 MPa et σ = 355⋅ 2 3 MPa = 236,7 MPa .
Par exemple, 64 tubes 60/60/2 [mm3] peuvent être mis en grappe, chaque tube présentant une section de 4,64 cm2 et
un k = 0,333.
Cette grappe reprend le même effort de compression qu'une barre carrée pleine de 297 cm2 de section ou 17,23 cm
de côté.
Avec un élancement géométrique de 10, soit une longueur de 1,723 m, la barre présente un

σcr = σ (1−1200 8758) = 236,7 1,137 = 208,18 MPa pour reprendre un effort de 6183 kN.

La grappe de tubes, à même élancement, contrainte admissible et capacité portante, a une longueur de
10 · 6 · 8 cm = 4,8 m.
Tant la barre que la grappe présentent un ΩH2 I = 12 .

Un profilé HE 300M, présentant une section de 303,1 cm2 et un ΩH2 I = 5,92 selon son axe le plus résistant et

ΩH2 I = 15,01 selon son axe le moins résistant, peut travailler à σ = 208,18 MPa pour un élancement de

0,137 ⋅ 8758 5,92 = 14,24 selon l'axe le plus résistant, soit une longueur de 4,84 m, et pour un élancement de

0,137 ⋅ 8758 15,01 = 8,94 selon l'axe le moins résistant, soit une longueur de 2,77 m.

On remarque donc que, malgré la meilleure raideur géométrique du profilé I, la grappe de tubes, avec un élance-
ment plus faible, permet de transporter la charge aussi loin.
Les quatre tracés du haut de la figure 2.6.2. illustrent ces cas.

4 Les valeurs de k sont analysées au chapitre III.