Page 43 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 43

2.8. LA GÉOMÉTRIE LONGITUDINALE ET µLH

La longueur réelle d'un élément comprimé axialement à contrainte admissible de travail constante, peut encore

substantiellement être augmenté en modifiant sa géométrie longitudinale considérée comme cylindrique et biarticu-
lée (µ = 1) jusqu'à présent.
Elle peut également, classiquement, l'être en encastrant une de ses deux extrémités (µ = 0,7) ou ses deux extrémités
(µ = 0,5).
L'élancement L H = 1 de l'élément biarticulé passe alors respectivement à 1,43 et 2.

Cet avantage est à pondérer dans le cas des treillis car la rigidité apportée aux nœuds pour l'encastrement des barres

introduit simultanément des moments parasitaires réduisant ainsi l'acquis.

On peut également imaginer une configuration en losange étrésillonné composé de cinq barres soumises à la même
contrainte, en traction ou compression, σ ≤ σ cr , dont quatre forment les côtés d'un losange à deux sommets dis-
tants de L et la cinquième relie les deux autres sommets distants de H, qui soit sollicité par une force de compres-

sion extérieure F dans l'axe des deux premiers sommets (figure 2.8.1.).

Chaque côté du losange, de longueur L2 + H 2 2 , est soumis à un effort de compression 1 + ( H L )2 F 2 . La

barre de longueur H est soumise à un effort de traction FH L .

L'indicateur de volume, tel que représenté en figure 2.8.2., vaut donc :

W = 1 + 2 ( H L )2 . 2.8.1.

On remarque que, pour L H = 10 , W = 1,02, et que, pour L H = 20 , W = 1,005.
L'application de la formule de Mohr (voir 1. ci-avant), valable uniquement pour les petits déplacements, conduit

également à ∆ = 1 + 2 ( H L )2 . 2.8.2.

Cette relation reste valable en trois dimensions (figure 2.8.3.) pour une paire de tripodes dont les barres sont reliées
par un étrésillon en triangle équilatéral. En effet, chacune des six barres principales, d'une longueur

L (4 3)( H L )2 + 1 2 , reprend un effort F (4 3)( H L )2 + 1 3 , et chacun des trois côtés de l'étrésillon de lon-

gueur H, un effort (2 9)( H L ) F .

F

W ou ∆ F
10
L H 2 9
8
2L +1 7
L6
5 F 4 H 2
4
FH L 3 3 3L +1
2
1 2HF L
9L
L
F H 2 0 H

2L +1 H L 4 H 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3L +1

F

F

H Figure 2.8.2. Figure 2.8.3.

Figure 2.8.1.