Page 463 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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LA COUPOLE DE RÉVOLUTION EN MEMBRANE 463

3. La calotte sphérique d’épaisseur variable sous charge uniformément répartie sur sa surface

En se référant à la figure 2.1.1. pour ce qui suit, la relation 2.3.7. donne :

e (ϑ ) = ( p σ ) R (1 + cosϑ ) , 3.1.

où H est la hauteur de la coupole et h l'ordonnée à partir de la base (figure 3.1.).

La figure 3.2. illustre, à titre indicatif, le profil de l'intrados et de l'extrados encadrant la fibre moyenne du méridien,
avec p σ = 0,1 pour percevoir la variation d'épaisseur ( p σ est en réalité plutôt proche de 10 – 4, et la variation
d'épaisseur donc pratiquement imperceptible).

1 1 1.2 p = 0,1
σe h y0 σ
R =1
0.95 p R 0.9 H 1

0.9 0.8

0.85 0.7 0.8
0.8 0.6

0.75 0.5 0.6

0.7 0.4 0.4
0.65 0.3

0.6 0.2 σ e 0.2

0.55 0.1 pR x0
0.5 0
π 0 ϑ0 = 45° ϑ0 = 60° ϑ0 = 90°
2ϑ

0 0.5 1 1.5 2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figure 3.1. Figure 3.2.

La charge totale sur la calotte vaut, en vertu de 2.1.6. : F = 2π RHp . 3.2.

Le volume de matière de la calotte est V = ∫S edS = 2π R∫0H edh , ce qui conduit, avec la relation 3.1. et

dh = −R sinϑdϑ , à V = 2π ( p σ ) R3 ln 2 (1 + cosϑ0 ) , ou encore, avec 2.1.1. et 2.1.2., à :

V = 2π p R3 ln  + 4  H 2  . 3.3. H ~ 71,5°
σ 1  L  
 

L'indicateur de volume vaut dès lors :

W = 1 H  1  L 2 2  4  H 2  , 3.4. ~ 2,779H
4 L 1 + 4  H   ln 1 +  L   Figure 3.3.
  


avec un minimum Wmin ≈ 0,322 pour L H ≈ 2, 779 ou ϑ0 ≈ 71, 5° (Figure 3.3.).

Les figures 3.4. et 3.5. illustrent cette relation en regard de celle pour e constant ainsi que leur rapport. La variation

de l'épaisseur permet donc de gagner jusqu'à 30% de poids pour une calotte sphérique.

1,2 ~2,779 coupole sans ceinture L 1 We var coupole sans ceinture L
W e constante H 0,95 We const H
e variable 0,9 6 8 10 12 14
0,9 16 18 0,85 Figure 3.5. 16 18
6 8 10 12 14 0,8
0,6 Figure 3.4. 0,75
0,7
~0,385 0,65
~0,322
24
0,3

23

0
24