Page 461 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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LA COUPOLE DE RÉVOLUTION EN MEMBRANE 461
• Il peut finalement être souhaitable de couvrir tant le même volume que la même surface, aussi lorsque l'arc est
sans tirant et la coupole sans ceinture. Cela implique le respect simultané des relations 1.3.3. et 2.2.2.5., la relation
1.3.1. exprimant la condition de même volume de matière qui donne L2 = W1L1 W2 .
( ) ( ) ( )Il en découle W2 = 4µ13W1 π W2 2
µ2 3µ12 +4 , H2 = 3µ12 + 4 L1 4 µ13 et α = 4 W1 . 2.2.2.14. à 2.2.2.16.
Les relations 2.2.2.8., 2.2.2.9. et 2.2.2.14. donnent :
( ) ( )µ2 = 32 + 6µ14 12 + 9µ12 . 2.2.2.17.
On retrouve l'expression 2.2.2.10.
( )Pour la calotte optimale, W1 = 2 3 3 , µ1 = 2 3 et l'on retrouve µ2 = 4 7 15 ≈ 2,733 et W2 = 12 35 ≈ 0, 586 ,
valeurs déjà obtenues lorsque seul le même volume V0 couvert était cherché, mais dans le cas présent :
( )α = 81π 140 ≈ 1,818 , L2 = 35 81L1 ≈ 0,657L1 , α L2 = 9π 4 35 L1 ≈ 1,195L1 et H2 = 5L1 432 ≈ 0, 241L1
(figure 2.2.2.6).
Le même raisonnement peut être suivi pour d’autres cas de charge.
~ 0,289 L1
L1 ~ 0,657L1 L1
~ 1,195L1 ~ 1,195L1
~ 0,241L1
~ 0,657 L1
Figure 2.2.2.6.
2.3. CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE p SUR LA SURFACE DE LA CALOTTE
F =π p 1 + H 2 L2 , px = p sinϑ , py =0 et pz = p cosϑ . 2.3.1. à 2.3.4.
4 L
( )Nϑ = p R (1 + cosϑ ) et Nϕ = p R 1 − cosϑ − cos2 ϑ (1 + cosϑ ) . 2.3.5. et 2.3.6.
La figure 2.3.1. illustre ce cas de charge, les deux conditions d’appui ainsi que la variation de Nϑ et Nϕ . Au méri-
dien comprimé en tout point correspondent des parallèles comprimés pour ϑ < 51°50 ' et en traction au-delà.
La plus grande contrainte en valeur absolue est Nϑ e sur appui ; il en découle :
σ = p R e(1 + cosϑ ) . 2.3.7.
Le calcul des indicateurs de volume, avec ou sans ceinture à la base de la calotte, conduit étonnamment aux même
valeurs que lorsque la charge est uniformément répartie sur la projection horizontale de la structure. Il s’ensuit que
les considérations du paragraphe 2.2. sont également valables ici. Il n'y a donc même pas la légère différence cons-
tatée pour les structures bidimensionnelles correspondantes, chaînette et arc, telle qu'illustrée aux figures IV.1.5.3.
et IV.1.5.4.
