Page 456 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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456 LA COUPOLE DE RÉVOLUTION EN MEMBRANE
2.2. CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE p SUR LA PROJECTION HORIZONTALE DE LA CALOTTE
2.2.1. L'indicateur de volume
La figure 2.2.1.1. illustre les deux conditions p
d’appuis :
− pR − pR
a. les réactions sont tangentes à la calotte ; 2 2
b. les réactions sur appui sont verticales et une ϑ = 45°
ceinture de rive équilibre la poussée horizontale
de la coupole.
a b Nϑ Nϕ
− pR pR
2 2
Figure 2.2.1.1.
F = π pL2 4 , px = p sinϑ cosϑ , py = 0 et pz = p cos2 ϑ . 2.2.1.1. à 2.2.1.4.
Nϑ = pR 2 et Nϕ = (1 2) pR cos(2ϑ ) . 2.2.1.5. et 2.2.1.6.
La variation de Nϑ et Nϕ y est également illustrée : aux méridiens comprimés en tous points correspondent des
parallèles comprimés pour ϑ < 45° et en traction pour ϑ > 45° .
La plus grande force par unité de longueur en valeur absolue est identique pour les parallèles et les méridiens et
vaut p R 2 au sommet de la membrane ; il en découle que σ = p R (2e) et un indicateur de volume valant (avec
L H≥2):
a. lorsque les réactions sont tangentes à la calotte :
W = H 3 + 1 H +1 L , 2.2.1.7.
L 2 L 16 H 2.2.1.8.
( )avec un minimum de Wmin = 2 3 3 ≈ 0,385 pour L H = 2 3 ≈ 3, 464 (ϑ0 = 60° ).
Cette expression peut raisonnablement être approximée ( R2 ≈ 0, 9995 ) par :
W ≈ 0, 0995 + 0, 0581 L H entre L H = 6 et L H = 18 .
b. lorsque la calotte est équipée d’une ceinture à sa base :
W = H 3 +3 L , 2.2.1.9.
L 16 H
avec un minimum de Wmin = 1 2 pour L H = 2 (ϑ0 = 90° ).
On remarque que cet optimum correspond à la coupole hémisphérique, pour laquelle la ceinture n'est pas néces-
saire.
À nouveau, une approximation W ≈ 0, 0042 + 0,1872 L H 2.2.1.10.
est raisonnable ( R2 ≈ 1 ) entre L H = 6 et L H = 18 , avec W ≈ −0, 0953 + 0,1291L H ( R2 = 0, 9999 ) représen-
tant la contribution de la ceinture.
La figure 2.2.1.2 illustre ces relations.
Finalement, il est à noter que, comme Nϑ est constant (et toujours supérieur en valeur absolue à Nϕ ), la variation
de l'épaisseur e de la membrane ne permet pas de faire une économie de matière.
