Page 454 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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454 LA COUPOLE DE RÉVOLUTION EN MEMBRANE
1.2. CONDITIONS D’APPUI
Quelle que soit la surface de révolution concernée, l’équilibre de la membrane suppose que la réaction d’appui,
continue tout au long du parallèle de support, soit tangente au méridien, comme montré sur la figure 1.1.1.
Ceci correspond, mais en trois dimensions, au cas de l’arc sans tirant pour lequel l’équilibre n’est possible que lors-
que les réactions aux naissances lui sont tangentes.
Au tirant, qui permet d’équilibrer la composante horizontale de la réaction sur
appui à la base d’un arc sur appuis verticaux, correspond une ceinture circulaire
à la base de la surface, dont la déformation sous charge doit correspondre à celle
de la membrane pour ne pas induire d’efforts parasites.
Cette ceinture (figure 1.2.1) reprend la poussée radiale Nϑ cosϑ due à l’obliquité Nϑ
des méridiens à la base de la membrane.
Elle est sujette à un effort : a Nϑ cosϑ
rϕ ϑ
a Nϑ cosϑ = (1 2)rϕ Nϑ sin (2ϑ ) ,
et son indicateur de volume vaut :
W =π a Nϑ cosϑ F , ou 1.2.1.
W = (π 2)rϕ Nϑ sin (2ϑ ) F , 1.2.2. Figure 1.2.1.
où F est la résultante des forces verticales sollicitant la surface.
1.3. COMPARAISON AVEC LES STRUCTURES BIDIMENSIONNELLES MISES EN PARALLÈLE
Il est donc maintenant possible de calculer les indicateurs de volume pour quelques surfaces de révolution usuelles sous
charge verticale répartie. Il en ressort qu’ils sont, à même portée et élancement, substantiellement plus faibles que ceux
des structures bidimensionnelles mises en parallèle pour couvrir la même surface. Ce gain est cependant à nuancer.
Les coupoles servent en effet à couvrir un volume V0 ou une surface S0, ce qui peut également être fait par une
structure horizontale plane sur murs verticaux, par des portiques mis côte à côte, ou encore par une voûte paraboli-
que ou en chaînette (à condition de pouvoir négliger les efforts horizontaux sollicitant la construction).
Or, contrairement au cas de la portée horizontale à franchir, où L est la donnée de départ, c’est ici V0 ou S0 qui l’est
et non pas la portée.
Il est donc toujours possible de couvrir le même volume V0 ou la même surface S0 à l’aide d’une série de structures
bidimensionnelles mises en parallèles de portée L2 dont le volume de matière est égal à celui de la structure d’une
coupole de diamètre L1 nécessairement supérieur à L2.
Par exemple, dans le cas de la même surface couverte S0 et pour une charge p uniformément répartie sur la projec-
tion horizontale de la structure ( F = pS0 ), soit W1 l’indicateur de volume de la membrane de diamètre L1 et de hau-
teur H1 ( µ1 = L1 H1 ), et W2 celui des structures bidimensionnelles de portée L2 et de hauteur H2 ( µ2 = L2 H2 ),
mises en parallèle sur une distance α L2 .
La condition de même volume de matière donne : V1 = W1F1L1 = V2 = W2 F2 L2 , soit L2 = W1(L1 H1) L1 , puisque
σ σ W2(L2
H2 )
F1 = pS0,1 = pS0,2 = F2 . 1.3.1.
Par extension, H2 = µ1 W1(L1 H1 ) H1 . 1.3.2.
µ2 W2(L2 H2 )
Ensuite, la condition de même surface couverte donne aussi :
S0 = π L12 = α L22 , soit α = π L1 2 , ce qui, avec la relation 1.3.1., conduit à : 1.3.3. et 1.3.4.
4 4 L2
α = π W2(L2 H2 ) 2 et α L2 =π W2(L2 H2 ) L1 . 1.3.5. et 1.3.6.
4 W1(L1 H1 ) 4 W1(L1 H1 )
