Page 453 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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CHAPITRE VII
La coupole de révolution en membrane
1. Introduction
1.1. GÉOMÉTRIE ET ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION
L’étude, limitée à la surface de révolution, concerne la coque soumise exclusivement à des contraintes tangentes à
sa surface, à l’exclusion de moments fléchissants ou d’efforts tranchants, donc en état de membrane.
Sa géométrie (voir par exemple [1]) peut être définie simplement par la connaissance en tout point P du rayon a du
parallèle et du premier rayon de courbure principal rϑ du méridien qui y passe (figure 1.1.1.) ; ce dernier forme un
angle ϕ avec un méridien de référence.
Les axes d’un système local et dextrogyre en ce point sont respectivement : x (tangent au méridien en s’écartant du
sommet de la coupole), y (tangent au parallèle) et z (normal à la surface et dirigé vers l’axe de révolution avec
lequel il forme un angle ϑ). Il est connu que le centre du second rayon de courbure principale rϕ est situé sur l’axe
de révolution, de telle sorte que rϕ = a sinϑ .
méridien Axe de ϕ Nϑ adϕ
la membrane
dϕ Tϑ adϕ Nϕ rϑ dϑ
a Tϕ rϑ dϑ
parallèle aϕ P ( )Tϕrϑ dϑ + ∂ dϕ py pz
∂ϕ Tϕ rϑ dϑ
y ϑz
rϕ ( )Nϕrϕdϑ ∂ px adϕ
+ ∂ϕ Nϕ rϑ dϑ dϕ xrϑ dϑ Tϑ ∂ (Tϑ adϕ)dϑ
x ϑ adϕ + ∂ϑ
p
rϑ
dϑ Nϑ adϕ + ∂ (Nϑ adϕ)dϑ
∂ϑ
rϑ
Figure 1.1.1. Figure 1.1.2.
Soit, en un point considéré, Nϕ la force perpendiculaire au méridien et par unité de longueur perpendiculaire au
parallèle, Nϑ celle perpendiculaire au parallèle et par unité de longueur perpendiculaire au méridien, Tϕ le flux de
cisaillement par unité de longueur parallèle au méridien, Tϑ celui parallèle au parallèle, px, py et pz la décomposition
selon les axes locaux des forces extérieures par unité de surface la sollicitant (figure 1.1.2.).
Les équations d’équilibre au point P peuvent alors s’écrire comme suit, à condition d’assurer des réactions sur
appui tangentes à la surface et d’y permettre un libre mouvement (voir par exemple [1] ou [2]).
Tϑ = Tϕ = T ; 1.1.1.
( )∂ ∂T
∂ϕ
∂ϑ
Nϑrϕ sinϑ + rϑ − Nϕ rϑ cosϑ + pz rϑ rϕ sinϑ = 0 ; 1.1.2.
( )∂Nϕ ∂ + Trϑ cosϑ + pyrϑrϕ sinϑ = 0 ;
∂ϑ
∂ϕ
rϑ + Trϕ sinϑ 1.1.3.
Nϑ rϕ + Nϕ rϑ + pzrϑ rϕ = 0 . 1.1.4.
