Page 246 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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246 L’ARC, LE CÂBLE ET LA STRUCTURE HAUBANÉE

Pour un système d'axes (x,y), dont l'origine est placée au milieu de l'horizontale joignant les appuis, et les grandeurs

relatives x* = x L, y* = y L , δ * = δc L et L*c = Lc L , les équations de la parabole, de sa dérivée et de l'inclinai-
c

son du câble sur appuis sont :

( )y* * , y*′ = −8x*δc* et tanα = −4δc* .
= δ c 1 − 4 x*2 2.1.1. à 2.1.3.

L'intégration de l'expression exacte L*c ∫= 2 1 2 1 + y*′2 dx conduit aux deux formulations équivalentes suivantes :
0

( )L*c 1  1 * *2 
= 2  1 + 16δc*2 + ln 4δ c + 1 + 16δ c  2.1.4.
 4δ * 
c

( )et L*c 1  1 4δ c* 
= 2  1 + 16δc*2 + arcsinh . 2.1.5.
 4δ * 
c

Cependant, en notant que y*′ est très petit, l'expression de L*c peut être approchée par :

( )∫L*c 12 8
≈2 0 1 + y*′2 2 dx = 1 + 3 δ c*2 . 2.1.6.

Cette approximation est en fait très précise car elle ne s'écarte de la solution exacte que de 0,0039% pour δ * = 1 20
c
δ *
et de 0,059% pour c =1 10 .

( )Il
en découle que : δ * = 3 L*c −1 8. 2.1.7.
c

La partie supérieure droite de la figure 2.1.2. illustre la relation entre µ = 1 δc* (l'élancement géométrique du

( ) ( )câble) et 1000 L*c −1 = 8000 3µ 2 en vertu de 2.1.6.
( )L'élongation du câble Lc − L = L*c −1 L est d'autre part déterminée par la contrainte kσ qui y règne. Il en

découle que :

L*c = 1 + kσ E , 2.1.8.

et que la contrainte élastique admissible σ est atteinte pour une longueur limite relative L*ce = 1 + σ E . 2.1.9.

Un câble en un matériau ductile dont la limite élastique vaut 1,5σ entre donc en plasticité lorsque sa longueur rela-

tive atteint :

L*cp = 1 + 1, 5σ E . 2.1.10.

( )La partie supérieure gauche de la figure 2.1.2. illustre la relation entre E (kσ ) et 1000 L*c −1 = 1000 E (kσ ) .

Les relations 2.1.6. et 2.1.8. donnent δ * = 3kσ (8E ) , 2.1.11.
c

valeur qui peut être directement déduite de la figure.

Les indicateurs de volume et de déplacement s'obtiennent maintenant aisément en notant que l'effort maximum

dans le câble, déterminant sa section, vaut :

( )NH,p = pL *2
1 + 16δ c 8δc* , 2.1.12.

( )qui peut être approximé par N H,p = pL 8δ * . 2.1.13.
c

Cette approximation sous-estime la valeur exacte de 0,50% pour δc* =1 40 , 1,94% pour δ * =1 20 et 7,15% pour
c
*
δ c = 1 10 .

L'indicateur de volume WH,p = N H,p pL vaut dès lors :

( )WH,p = *2
1 + 16δ c 8δc* et, avec 2.1.11. : 2.1.14.

WH,p = 1 + E (6kσ ) 2 . 2.1.15.
2.1.16. et 2.1.17.
Pour µ =1 δ * ≥ 40 (W ≥ 5 ), ces expressions peuvent être approchées par :
c

( )WH,p ≈ 1 8δ * et WH,p ≈ E (24kσ ) , à 0,5% près pour µ = 40 .
c

L'indicateur de déplacement ∆H,p = δ * E (kσ ) vaut quant à lui :
c