Page 24 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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24 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

W ρ σ intègre donc, sans les révéler, l’indice {Ma } d’efficience des matériaux ( ρ σ et ρ E pour la traction et

la compression hors flambage, ρ E1 2 pour la compression limitée par le flambage, ρ σ 2 3 et ρ E1 2 pour la

flexion simple, ρ 3 σ et ρ G pour le cisaillement) et l’indice d’efficience {Ge} de la forme.

Toutes autres choses restant égales, une grappe de tubes de diamètre H et d’épaisseur de paroi e remplaçant une
barre pleine de même volume en un matériau aux caractéristiques physiques ρ , σ , E et G, présente une densité

apparente ρa = 4k (1 − k ) ρ où k = e H , une contrainte admissible apparente σ a = 4k (1 − k )σ , un module d’élas-
ticité apparent Ea = 4k (1 − k ) E et un module de glissement apparent Ga = 4k (1 − k )G . Il en découle que

( )ρa 13 σ23 .
Ea1 2 = 2 k − k2 ρ E1 2 et ρa σ 2 3 = 4k − 4k2
a ρ

Ceci explique les meilleures performances des matériaux allégés pour les éléments structurels en compression et
sujets à flambement, ainsi que pour les éléments fléchis.

Cet indicateur permet donc de comparer l’efficience de macrostructures ou de systèmes intégrés différents compre-
nant “géométrie” et “matériau”.

La présente approche morphologique fait écho aux travaux de M.F. ASHBY qui s'attache, dans son ouvrage “Mate-

rials Selection in Mechanical Design” (1992) [3], à définir une méthode de sélection de matériaux. {Ge} et {Ma }
y sont analysés séparément car, pour ses études, {Ma } doit couvrir un grand nombre de caractéristiques physiques

des matériaux.

Différente et complémentaire, elle peut également être mise en parallèle avec les travaux menés à partir de 1969 par
l'INSTITUT FÜR LEICHTE FLÄCHENTRAGWERKE à Stuttgart sous la direction de FREI OTTO et maintenant
de Werner SOBEK, qui font référence à des indices nommés Tra et Bic [4].
Le Tra est défini comme le produit de la longueur de la trajectoire de la force F (menant la structure à la ruine) vers
les appuis par l'intensité de cette force, et le Bic est le rapport de la masse de la structure au Tra.
Avec les notations utilisées ici, ρ * étant la masse volumique du matériau, et α étant, comme W, une constante
dépendant du type de structure et du cas de charge (il vaut 4, par exemple, pour une portée isostatique sous charge
uniformément répartie pr la menant à la ruine) :

Bic = ρ *V Tra et Tra = Fr L α ( = pr L2 4 pour l'exemple) ; donc, avec la contrainte à la rupture σr atteinte sous
F,

Bic = α ρ*V = α ρ* F W ; et comme F = σ : Bic = ρ * αW .
Fr L σ Fr Fr σr σr

Contrairement à W, qui est sans dimensions, Bic s'exprime en kg Nm . Dépendant donc du matériau, il ne permet

pas une comparaison indépendante de différentes morphologies.

Il est étonnant de remarquer que malgré l'abondance de leur travaux, aucun n'ait mis en évidence ni ne se soit atta-

ché à étudier W et sa relation avec L H .

Il semble que seuls V. QUINTAS RIPOLL [5 et 6] et W. ZALEWSKI et St. KUS [7] aient approché l’indicateur de

volume W sans toutefois approfondir la question.

1.2. LIMITES DE VALIDITÉ DES FORMULES DE W ET ∆

– Les effets de second ordre n'ont en général que très peu d'influence sur W, alors qu'ils peuvent sensiblement
influencer ∆. W et ∆ dépendent alors aussi de E σ .
– L'effort tranchant peut être déterminant dans le cas de pièces courtes et continues, soumises à flexion de telle
sorte que W ne descende plus en-dessous d'une certaine valeur, quelle que soit la réduction de l'élancement L H .
Cette limitation est cependant très théorique car il est toujours possible de la supprimer en transférant de la matière
des ailes vers la (ou les) âme(s) près des appuis.