Page 22 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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22 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

1.1. MACROSTRUCTURE, ÉLÉMENT STRUCTUREL, MICROSTRUCTURE ET MATÉRIAU

Les “macrostructures” étudiées ici peuvent être composées “d’éléments structurels” dont le matériau présente une
“microstructure”.
Que l'on cherche à limiter la contrainte ou la déformation, macrostructure, élément structurel et microstructure ont

chacun un poids Vρ qui est fonction des sollicitations {F0} qui leurs sont appliquées, de leur taille {L0} , de leur
forme {Ge} , de la matière qui les constituent {Ma } .
V ρ ÷ {F0}{L0}{Ge}{Ma} .

Ou encore, forme et matière ({Ge}{Ma}) définissent le poids Vρ de la structure répondant aux sollicitations et aux

portées voulues ({F0}{L0}) .

Vρ ÷ {Ge}{Ma} .

{F0 }{L0 }

En mécanique des matériaux et au niveau de l’élément structurel, le paramètre {Ge} correspond, pour un type de

sollicitations considéré, au “facteur de forme” pour les structures de section continue en matériau ne comportant

pas de vides.

Le matériau constitutif de l’élément structurel peut cependant posséder une microstructure telle qu’il comprend des
vides. Il a alors une structure cellulaire qui améliore dans tous les cas de charge le facteur de forme, comme expli-
cité ci-après.

Le paramètre {Ma } caractérise le matériau et permet d’en comparer l’efficacité par rapport à un autre pour un type
de sollicitations donné, et ce indépendamment du “facteur de forme” de la structure, caractérisé par {Ge} .

Les indicateurs W = σV FL et ∆ = δ E σ L qui viennent d’être définis caractérisent les macrostructures faisant
l’objet de la présente étude (les notations et symboles en majuscules renverront toujours dans la suite du texte aux
macrostructures, alors que les mêmes notations et symboles en minuscule renverront toujours à l’élément structu-
rel. Ainsi, w = σ v fl est l’indicateur de volume de l’élément structurel).

Le tableau ci-après reprend, au niveau de l’élément structurel, les formulations de Vρ ainsi que de W et ∆ pour la
traction, la compression, la flexion et le cisaillement simples. La colonne de gauche concerne la limitation des con-
traintes, celle de droite la limitation des déformations.

L’indicateur W est, comme on peut l’observer, en relation directe avec {Ge}{Ma} . En effet :

V ρ ÷{F0}{L0}{Ge}{Ma} ÷Vσ ⋅ ρ σ , d’où Vσ ÷{F0}{L0}{Ge}{Ma}⋅σ ρ .

ou : W = σV ÷ {FF0 }   {L0 }  {Ge }{Ma } σ .
FL    ρ
  L 

ou encore : W ÷{Ge}{Ma}σ ρ pour un état de sollicitation et une dimension donnés.

Dans ce cas, comme W et ∆ ne dépendent que de L H :

W = σV = ρV σ et donc : ρ = ρV ÷{Ge}{Ma} .
FL FL ρ W FL

σ

Pour un type de sollicitation considéré, il s’agit donc du poids spécifique d’une macrostructure par unité de force et
de longueur, qui ne dépend de la géométrie que par l’intermédiaire de L H , et des matériaux que par l’intermé-
diaire de σ ρ .