Page 21 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 21

– dans le cas d’une pièce fléchie, à section continue, constante et symétrique par rapport à sa fibre neutre, soumise

en un point à sa contrainte admissible σ ÷ FLH .
I

V ÷ ΩL ; W = σV ÷ ΩH2 L ; soit W ÷ L lorsque ΩH 2 est constant. 1.7.
FL I H H I

Pour les petits élancements, W est en outre déterminé par la limitation de la contrainte de cisaillement τ due à

l’effort tranchant sur appuis (T = nF), Sn étant le moment statique à la fibre moyenne de largeur matérielle B, on a :

τ = TSn = nFSn , soit σ = n 3 Sn avec le critère de Von Mises τ = σ 3 , 1.8.
IB IB F IB

et donc : W = n 3 SnΩ . 1.9.
IB

L’indicateur de déplacement ∆ correspond au déplacement maximum (δ ) d’une structure unitaire (L = 1 m), en
un matériau de module d’élasticité unitaire (E = 1 Pa) , dont les éléments sont dimensionnés de manière à être sol-
licités à une contrainte unitaire (σ = 1 Pa) sous une résultante de forces d’intensité unitaire (F = 1 N).

En effet :

– dans le cas d’un treillis quelconque, selon la formule de O. Mohr (1874), et comme, toutes les barres étant solli-

citées à la contrainte admissible σ , fk =σ .Ωk :

k =i fk fk1 σL k =i fk1 lk σ k =i fk1 lk ) .
E k =1 L E k =1 L
=
∑ ∑ ∑δ = δ ′ =
k =1 E Ωk lk (ou 1.10.

où fk1 est l’effort axial (sans dimension) produit dans la barre de longueur lk par une force (ou un couple) unitaire
appliquée à l'endroit où se calcule δ (ou δ ′) et dans sa direction ;

∑ ∑donc : ∆ = Eδ = k =i fk1 lk ∆′ = k = i fk1 lk . 1.11.
σL k =1 L (ou k = 1 L )

Lorsqu’un treillis est dimensionné de manière à être sollicité en tout point à sa contrainte admissible, on constate

qu’un quelconque de ses déplacements se détermine simplement par le calcul du travail d’une sollicitation unitaire

appliquée dans le sens et à l’endroit du déplacement recherché.

– dans le cas d’une pièce droite ou courbe soumise à effort axial, à section continue et constante sollicitée en un

point à sa contrainte admissible σ ou à section continue et variable sollicite en tous points à sa contrainte admissi-

ble σ = F / Ω :

δ ÷ FL ; δ ÷ Lσ ; donc ∆ = Eδ = constante (δ′÷ F ; δ′÷σ ; donc ∆′ = Eδ ′ = constante ). 1.12.
EΩ E σL EΩ E σ

– dans le cas d’une pièce fléchie, à section continue, constante et symétrique par rapport à sa fibre neutre, soumise

en un point à sa contrainte admissible σ ÷ FLH :
I

δ ÷ FL3 ; δ ÷ σ L L ; donc ∆ = Eδ ÷ L ( δ ′ ÷ FL2 ; δ ′ ÷ σ L ; donc ∆′ = Eδ ′ ÷ L ). 1.13.
EI E H σL H EI E H σH

Pour les petits élancements, les déformations dues au cisaillement s’ajoutent.

1E et Ω ' = BI 2 h/2
2 1+ν
∫Avec G = Sn2dy (l’aire réduite, dans le cas d’une section rectangulaire pleine) :

−h / 2

δ = k1 FL3 + k2 FL , donc ∆ = k1 L + 2k2 (1 +ν ) I H . 1.14.
EI GΩ′ H 2Ω′ L
H