Page 23 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 23

Soit un élément de longueur L et de section symétrique quelconque s'inscrivant dans un rectangle de hauteur h et de largeur b,

avec h = c1b , Ω = c2b2 , Ω ' = c2′ b2 , Sn = c3b3 , I = c4b4 et q = I Ω2 = c4 c22 .
c5 = coefficient de sécurité au flambage ; c6 = M / fl ; c7 = coefficient de flèche à M ; c8 = T / f ; c9 = coefficient de flèche à T ; µ = coefficient
d'encastrement d'une barre comprimée

a) Traction simple et compression sans flambage :

vρ = Ωlρ et Ω = f vρ = Ωlρ et Ω = f
σ εE

vρ = {f} {l} {1} ρ  vρ = f {l} {1} ρ
σ     
  ε   E 

{F0 } = f ; {L0} = l ; {Ge} = 1 ; {Ma} = ρ {F0 } = f ; {L0} = l ; {Ge} = 1 ; {Ma} = ρ
σ ε E

w = vσ = 1 ∆ = δE = εE = 1
fl σl σ

b) Compression simple sujette au flambage :

vρ = Ωlρ et f c5 = π 2EI = π 2Ec4b4 f c5 = qEf ⋅ π 2Ω2 σ 2
f
( µl )2 ( µl )2 (µlσ )2

vρ = c2b2lρ et b2 = µl f f 2 = c5 Ω2 π 2σ 2 ; f = σπΩ c5
π c5 Ec4 Ω= f Ψ2 Ψ

 f   c2   ρ  εE fl δE f
{ }vρ =   µl2     = δE ; = Ω
 
π 2c5  c4   E  l

{F0} =  f  ; {L0} = µl2 ; {Ge} = c2 = 1 ; ∆ = f = π c5
 c5  c4 q Ωσ Ψ
 
Dans ces expressions, Ψ = µσ l est l’indicateur de flambe-
{Ma} = ρ qEf
E
ment.

w = vσ = µσ l 1 =Ψ
fl qEf π 2c5 π c5

c) Flexion simple (sections symétriques) :

vρ = Ωlρ ou vρ = c2b2lρ vρ = Ωlρ δ = c7 fl3 = c7 fl3
EI c4 b4E
2σ I  c6c1 fl 1 3
M = c6 fl = h = 2σ c4 b3 c1 donc b =  2c4  1/ 2
 σ   c7 fl3 
vρ = c2b2lρ b2 =  c4δ E

{ } { }vρ = (c6 f )2 /3 c2  c1 2 /3  ρ
  2c4  
l5 / 3     2 / 3   1/ 2     ρ 
σ      
{ }vρ= c7 f   l5 / 2 c2
δ 
 c1 2 / 3 ρ  c4   E 
{F0} = (c6 f )2 / 3 {L0} = l5 / 3 {Ge}  2c4  {Ma} = σ2/3
; ; = c2   ;  c7 f 1/ 2 c2 ρ
 δ  c4 E
{F0} = ; {L0} = l5 / 2 ; {Ge} = ; {Ma} =

vσ  c1 2 /3
fl  2c4 
w= = c62 / 3 f −1 / 3l 2 / 3c2   σ1/3

∆ = δE pour σ  2c4 b3  = c6 fl
σl  c1 
 c6c1 fl 1 3 w = c12c2c6 l l  
 2c4 2c4 h ∆ = 2c7 h
comme b =  σ  = h c1 , c6


d) Cisaillement simple (sections symétriques) :

vρ = Ωlρ et τ = σ = SnT avec T = c8 f vρ = Ωlρ δ = c9 fl = c9 fl
3 Ib GΩ' c2' Gb2

τ = c3c8 f = c2c3c8 f = σ vρ = c2b2lρ b2 = c9 fl
c4 b2 c4 Ω 3 c2' Gδ

Ω = f c2c3c8 3 { }vρ=  c9 f  2  c2  ρ
σ c4  δ   c2'   G 
  l   

vρ = {c8 f } {l}  c2c3   ρ 3  c9 f c2 ρ
 c4    δ c2' G
   σ  {F0 } = ; {L0} = l2 ; {Ge} = ; {Ma} =

{F0 } = c8 f ; {L0} = l ; {Ge} = c2c3 ; {Ma} = ρ3 ∆ = δ E pour σ = 3 c3c8 f
c4 σ σ l c4 b2

w = vσ = c2c3c8 3 ∆ = c9c4 2 (1 + ν )
fl c4 c2' c3c8 3