Page 20 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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20 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

L'influence de l'instabilité élastique peut cependant être analysée à l'aide de l'INDICATEUR DE FLAMBEMENT,
comme détaillé en référence [2].

De même, le déplacement maximum δ (et accessoirement la pente maximum δ ′) sous contrainte uniforme σ de
cette structure, en un matériau présentant un module d'élasticité E, est tel que ∆ = δ E σ L (et ∆′ = δ ′E σ ), nommé

INDICATEUR DE DÉPLACEMENT (et INDICATEUR DE ROTATION), ne dépend également que du rapport
L H.
L’indicateur de volume W correspond donc au volume de matière (V) d’une structure de portée unitaire (L = 1 m),
dont les éléments sont dimensionnés de manière à être sollicités à une contrainte unitaire (σ = 1 Pa) sous une résul-
tante de forces d’intensité unitaire (F = 1 N).

Que la charge soit uniformément répartie ou concentrée en un point mobile, on observe en effet que :

– dans le cas d’un treillis quelconque (figure 1.2.) de portée L et comportant i éléments soumis à un ensemble de

forces d’intensité F, dont chaque élément k est de longueur lk , de section Ωk , de volume vk et soumis à une force
interne fk , le volume de la structure est égal à :

k =i k =i k =i fk
k =0 σ
vk Ωk lk

k =0 k =0
∑ ∑ ∑V= = = lk . 1.1.

Figure 1.2.

La structure similaire de portée unitaire L = 1 m, sous un ensemble de forces d’intensité unitaire F = 1 N, et en un

matériau de contrainte admissible unitaire σ = 1 Pa, dont chaque élément k est de longueur l1k et soumis à une force
interne f1k , présente un volume :

k=i k=i k =i

∑ ∑ ∑W = v1k = Ω1kl1k = f1kl1k . 1.2.

k=0 k=0 k =0

avec : l1k = lk L ; Ω1k = Ωk L2 ; v1k = vk L3 et f1k = fk F ; d’où 1.3. et 1.4.
1.5.
∑V=k =i f1k ⋅ F ⋅ l1k ⋅L = FL W .
k =0 σ σ

– dans le cas d’une pièce droite ou courbe soumise à effort axial, à section continue et constante sollicitée en un
point à sa contrainte admissible σ ou à section continue et variable sollicitée en tous points sa contrainte admissible
σ = FΩ:

V ÷ ΩL ; V ÷ FL ; et W = σV = constante. 1.6.
σ FL