Page 134 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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134 LES TREILLIS

3.3. LA RÉPARTITION DE L'INDICATEUR DE VOLUME Wn,p À CHAQUE NŒUD SOLLICITÉ

Les indicateurs qui viennent d'être déterminés correspondent au volume d'un treillis dont toutes les barres ont une
section différente de manière à être toutes sollicitées à la contrainte σ.
Il est intéressant de calculer, pour chaque cas de charge considéré, la contribution des volumes de ces barres aux
nœuds i auxquels les charges ont été appliquées, et d'en vérifier l'uniformité de répartition.

On obtient pour une charge uniformément répartie :

– sur les nœuds i de la membrure supérieure, sans colonnette sur appui :

Wn(,si1) = n − 2i + 1 H + 2i (2n +1) − 4i2 −n L . F FF F F 3.3.1.1.
nL H nnn nn 3.3.1.2.
4n3 3.3.2.1.
maille i 3.3.3.1.1.
3.3.3.1.2.
– sur les nœuds i de la membrure supérieure, avec colonnette sur appui : 3.3.3.2.1.
3.3.3.2.2.
Wn(,si2) = n − 2i + 1 H + 2i (2n +1) − 4i2 − n −1 L .
nL
4n3 H

– sur les nœuds i de la membrure inférieure :

( )Wn(,ii) +2 ( 4i − 3)n + 6i − 4i2 −3
n − 2i H 4n3 L
= n L + . FF F F
nn n n
H
maille i

– sur les nœuds i des membrures supérieure et inférieure, sans colonnette sur appui :

( )Wn(,ni,1s)up
n − 2i +1 H ( 4i −1) n − 4i2 − 2i +1 L
2n L H
= + 8n3 . F FF FF
2n 2n 2n 2n 2n
( )Wn(,ni,1i)nf
= n − 2i H + (1+ 4i) n − 4i2 + 2i +1 L . F
H 4n

F FF F F
2n 2n 2n 2n 2n

i

2n L 8n3

– sur les nœuds i des membrures supérieure et inférieure, avec colonnette sur appui :

( )Wn(,ni,2su)p (8i − 2)n − 8i2 − 4i + 3
n − 2i +1 H 16n3 L
= 2n L + H .

( )Wn(,ni,2in)f 8i2
n − 2i H (8i + 2) n − + 4i + 3 L
H
= + .
2n L 16n3

La figure 3.3.1. illustre la valeur de Wn,p par nœud pour la relation 3.3.2.1. Tout comme pour les treillis HOWE-
PRATT, on remarque à nouveau que, si la répartition de l'indicateur de volume est pratiquement uniforme pour

l'élancement optimum de chaque treillis pris isolément, cette répartition ne l'est pas pour les angles d'ouverture des
mailles correspondant aux segments de courbes Wn,p formant les courbes enveloppes, comme par exemple α = 90°
(cette constatation est similaire pour les autres cas de charge). La comparaison de cette figure avec α = 90° à la
figure 2.3.1. du treillis HOWE-PRATT avec β = 45° montre que la répartition du poids propre est ici moins uni-
forme. Par exemple, nWn,i,max Wn pour L H = 18 vaut 1,3 pour le WARREN avec α = 90° contre 1,23 pour le
HOWE-PRATT avec β = 45°.

La sous-évaluation de Wn sous poids propre qui en découle peut cependant aisément être corrigée en multipliant Wn
par le rapport de l'indicateur de volume de la maille centrale Wn,i,max à l'indicateur de volume moyen de toutes les
mailles (soit Wn n ), tel que repris sur la figure ci-dessous.