Page 79 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 79

Des couples opposés et égaux d'intensité kM sont appliqués aux appuis, de manière à réduire le moment à mi-tra-

vée, et Mx devient :

( )Mx = 1− k − 4x*2 M , avec Mx = 0 pour x* = 1 − k 2 . 4.5.2.

L'allégement maximum dans le cas de la poutre droite s'obtient évidemment en égalant les moments sur appui et à
mi-travée, soit pour k = 0,5 ; il découle de la relation 4.1.15. :

W = 1 ΩH 2 L . 4.5.3.
32 I H

Par contre, dans le cas du treillis, la section des barres peut être adaptée aux efforts qui y sont appliqués, et le

volume minimum s'obtient pour k donnant la plus petite surface du diagramme du moment fléchissant pris en

valeur absolue, soit :

 1− k 2 12  4 2 
 0 1−k 2   3 3 
∫ ( ) ∫ ( ) ( )2M 3 2
1 − k − 4x*2 dx* + 4x*2 −1 + k dx* = 1− k − + k ML , 4.5.4.

et qui vaut au minimum ML 4 pour k = 0, 75 (soit 3 8 de la surface du diagramme isostatique).

La figure 4.5.2. 12 illustre l'influence de k sur le W du treillis WARREN à nombre pair de mailles n et dont l'angle
d'ouverture au sommet α est limité à 90°, chaque nœud inférieur étant chargé par F n .
On observe la proximité de la courbe correspondant à la poutre bi-encastrée ( k = 8 12 ) et celle correspondant au
minimum absolu ( k = 9 12 ).
La figure 4.5.3. reprend la courbe pour k = 9 12 sur la figure 4.1.3.
Il en découle que le treillis WARREN bi-encastré devient la plus légère de toutes les structures dès L H ≥~ 5 .

3,5 kM kM k =0 10
WT n W

12 9
8
3 F FF 7
n nn

2,5 k = 2 /12

2 k = 4 /12 6
1,5 5
n=4 k = 6 / 12 4 k = 9 12 L
1 k = 8 /12 3 H
0,5 k = 9 /12 n=8 k = 9 /12 2 6 9 12
k = 8 /12 n=6 1 Figure 4.5.3. 15 18
0 k = 6 /12 0
0 L
H 0

3 6 9 12 15 18 3
Figure 4.5.2.

12 Voir la référence [4] du chapitre IV.