Page 75 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 75

Le moment fléchissant au milieu du segment i (de longueur li = 2L n , de hauteur hi , de section Ωi et de moment
d'inertie Ii , ou de facteur de forme Zi ) vaut :

Mi = 1 i (n − i) LF et 4.3.1.
2
n2

Wi = 8 i (n − i) Ωihi2 L = 8 i(n − i) Zi L . 4.3.2. et 4.3.3.
hi hi
n3 16Ii n3

Pour n impair :

( )i=(n−1) 2 i n−i L ; 4.3.4.
n3 Zi hi 4.3.5.
∑Wn, impair = 16
i =1 4.3.6. et 4.3.7.

∑ ( )pour n n−i
pair : Wn, pair = 2 Zn 2 L ii =n 2−1 n3 Zi L .
n hn 2 + 16 hi

i =1

Pour hi = H = constant et Zi = Z = constant :

 i=(n−1) 2 i ( n − i )  L  2 i=n 2−1 i ( n− i )  L 4 1 1  L
= 16   H  n n3  H 3 n2  H
16
 i=1
i =1
∑ ∑Wn, + = −
impair n3  Z = Wn, pair = Z Z .

Pour n tendant vers l'infini :

W∞ = 4 Z L , soit 1,333... fois le volume de la poutre en une pièce. 4.3.8.
3 H

4.4. LA PREMIÈRE FRÉQUENCE PROPRE

Soit une structure matérialisant une portée hori- Fm F = Fm + Ff
zontale chargée transversalement par un ensemble surcharges
de forces d'intensité totale FT (figure 4.4.1.). mobiles

FT est la somme des surcharges mobiles (ou non FT = FM + Fm Ff = xF FT = F + F0
FM = Ff + F0 surcharges
permanentes) Fm, des surcharges permanentes permanentes
Ff = xF et du poids propre F0 = ρV . F0 = ρV
poids propre
FT = Fm + Ff + F0 , 4.4.1.
Figure 4.4.1.
avec F = Fm + Ff et FT = F + F0 .
FM est la partie de FT qui sollicite la structure de
manière permanente, soit, dans le cas présent, les

charges présentes sur la structure lorsqu'elle est

sollicitée dynamiquement :

FM = Ff + F0 , et FT = Fm + FM . 4.4.2.

δM étant son déplacement maximum sous les forces FM, KM = FM δ M représente sa raideur dans ce cas.
La première fréquence propre de la structure vaut alors (voir par exemple [22]) :

ω= 1 g KM (en Hertz), g étant l'accélération de la pesanteur ( 9,81m s2 ). 4.4.3.
2π FM

Il en découle que ω = 1 g  1 
2π δM  δ M[cm] 
 ≈ 5  . 4.4.4.

δT étant le déplacement maximum de la structure sous l'ensemble FT des forces la sollicitant, alors : 4.4.5.
4.4.6.
( )δM δT = FM FT = Ff + F0 FT = ( xF + F0 ) FT = x ( FT − F0 ) + F0  FT = x + (1− x) ρV FT .

Comme ∆ = EδT (σ L ) et W = σ V (FT L ) : δM = ∆L σ x + (1 − x ) ρWL E , et