Page 76 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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76 SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE

ω = gE [∆L[σ x + (1 − x ) ρ LW ]] 2π . 4.4.7.

Pour x = 1, F = Ff et toutes les surcharges sont permanentes :

ωf = 1 gE  E  4.4.8.
2π σ ∆L  ≈ 5 σ ∆L [cm]  . 4.4.9.

Pour x = 0, F = Fm et toutes les surcharges sont mobiles :

ω0 = 1 gE ∆WL2  ≈ 50 E ∆WL2[cm]  ,
2π ρ  ρ 

et ω f ω0 = F0 FT < 1 . 4.4.10.

La figure 4.4.2. représente 1 ∆ en fonction de L H pour les principales structures reprises en figure 4.1.3.

L'abaque illustré en 4.4.3. permet de connaître immédiatement ωf pour une structure de portée L en un matériau
déterminé 11. Il montre que les structures “optimisées” étudiées ici présentent toutes une première fréquence propre

faible sous charge totale. Il en découle qu'il faut, dans certains cas et pour éviter une mise en résonance des structu-

res légères de ce type, sollicitées dynamiquement dans ces gammes de fréquence, soit les équiper d'amortisseurs,

soit se résoudre à réduire fortement la contrainte de travail. Il est cependant à noter que cette contrainte de travail

est aussi à limiter dans ces cas pour tenir compte de la fatigue.

Il est ensuite possible, grâce à la relation 4.4.10., de faire l'évaluation de l'augmentation de cette première fréquence

propre en fonction de la réduction des charges présentes lors de la sollicitation dynamique, ω0 étant la limite supé-
rieure de la première fréquence propre.

4.5. L'EFFET DE MOMENTS DE RAPPEL SUR APPUI

La présence de moments de rappel sur appui a pour effet bénéfique de réduire les indicateurs de volume et de dépla-

cement.

Le cas de moments identiques est résumé ici à titre d'exemple.

Soit une poutre droite de section symétrique et constante ou un treillis droit, reposant sur un appui à rotule et un

appui à rouleau distants de L (figure 4.5.1.). Il ou elle est sollicité(e) par une charge verticale uniformément répartie

et dirigée vers le bas p. Pour un système d'axes (x,y) dont l'origine est au milieu de la portée, x* = x L l'abscisse
relative et M = pL2 8 le moment fléchissant maximum, l'expression du moment fléchissant est :

( )Mx = 1 − 4x*2 M , 4.5.1.

et la surface sous-tendue par le diagramme correspondant vaut (2 3) ML .

p= F
L

kM kM kM kM
1 ML
M 2 ML F 4
M2 3 n

2 2 −1 ML 3M
6 4
1M
4

Figure 4.5.1.

11 Le module d'élasticité à prendre en considération ici est le module d'élasticité instantané ; pour le bois en particulier, il vaut le double du
module permanent.