Page 226 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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226 L’ARC, LE CÂBLE ET LA STRUCTURE HAUBANÉE

L'arc (et le câble) parabolique(s) sont successivement analysés avec ou sans :
– tirant (en abrégé : T) ;
– colonnettes supportant un tablier horizontal tangent à la clef de l'arc (C) ;
– ou suspentes reprenant un tablier horizontal reliant les naissances (S).

1.2. L'ARC PARABOLIQUE DE SECTION VARIABLE

1.2.1. Arc, tirant, suspentes ou colonnettes en un même matériau

Soit un arc parabolique biarticulé, avec ou sans rotule supplémentaire à la clef, de portée L, de hauteur H, soumis à
une charge verticale uniformément répartie p sur l'horizontale (figure 1.2.1.1.).

x p 4.5 L*c = Lc
dx 4 L
H
ε y dy ε 3.5 L
pL 3 H
pL2 ds 2
8H 2.5 8 10
pL pL2 2
2 8H
1.5
L 1
0
2 4 6

Figure 1.2.1.1. Figure 1.2.1.2.

Pour un système d'axes (x,y) dont l'origine est placée au niveau de la clef de l'arc, l'équation de la fibre moyenne,

avec l'abscisse relative x* = x L , est y = 4H x*2 . 1.2.1.1.

Sa longueur entre appuis vaut Lc = 2 ∫L 2 1+ y′2 dx = 1  1 + 16  H 2 + 1 L arcsinh  4 H  L
0   L  4 H  L
2


(la figure 1.2.1.2. donne le rapport L*c = Lc L en fonction de L H ). 1.2.1.2.

En un point (x,y) quelconque de la fibre moyenne d'inclinaison ε par rapport à l'horizontale, l'effort normal de

compression vaut : Nε = pL2 . 1.2.1.3.
8H cosε

Si on impose que la contrainte soit partout égale à la contrainte admissible, la section correspondante vaut :

Ωε = pL2 = pL 1  L 2 + x*2 . 1.2.1.4.
8σ H cosε σ 64  H 

Cet arc présente un indicateur de volume :

W =2H+1 L ; 1.2.1.5.
3 L 8H

avec un minimum W = 1 3 = 0,577 pour L H = 4 3 = 2,309 .

Le même arc équipé d’un tirant reliant ses deux naissances pour y reprendre la poussée, et dont un appui est sur

rotule et l’autre sur rouleau, présente un indicateur de volume :

W =2H+1 L , 1.2.1.6.
3L 4H

avec un minimum W = 2 6 = 0,816 pour L H = 8 3 = 1,633 .