Page 225 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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CHAPITRE IV
L’arc, le câble et la structure haubanée

1. L'arc et le câble sous charge verticale uniformément répartie

1.1. INTRODUCTION

Il est connu qu'il est toujours possible de transmettre un ensemble de charges à deux appuis par une ligne les reliant
qui est exclusivement sollicitée par des efforts axiaux.
Il existe donc une relation biunivoque entre la forme de cette ligne, appelée funiculaire, et un état de charge donné.
Pour rappel, dans le plan, l'équation d'une ligne funiculaire s'obtient très aisément de la manière suivante (voir par
exemple : M.A.VOELLMY [1]) :
soit un arc ou un câble, soumis à une force verticale répartie p (x), dont la fibre neutre suit l'équation y (x) ;
soit N l'effort axial en un point A, normal à la section, qui peut se décomposer en F0 (effort de poussée) et T (effort
tranchant) (figure 1.1.1.).

p(x) T = dy = y′ . 1.1.1.
F0 dx
y

ϕN y(x) Comme F0 est constant et − dT =p : 1.1.2.
r(x) dx

A T d2y = − p(x) , 1.1.3.
F0
ds dy dx2 F0
dx
soit y′′( x) = − p ( x) . 1.1.4.

F0

D'autre part, il est connu que r (x), le rayon de courbure en x, vaut

x ( )r ( x) = 1+ y′2 3 2 y′′ .

Figure 1.1.1. 1.1.5.

Une double intégration de cette relation permet aisément de déterminer la géométrie de toute ligne funiculaire corres-
pondant à un état de charge donné et, inversement, une double dérivée de l'équation d'une ligne permet de définir l'état

de charge qui la rend funiculaire. Il est également utile de rappeler qu'en vertu de la relation d2M = −p(x) liant le
dx2

moment fléchissant M (x) d'une poutre droite isostatique et longue à la charge répartie p (x), le diagramme du moment

fléchissant (pour la poutre de même portée que l'arc) dessiné à l'échelle 1 F0 représente la ligne funiculaire.

Cette partie de l'étude se limite aux formes les plus usuelles :
– l'arc ou le câble parabolique (y compris le câble tendu quasi-rectiligne), qui est une ligne funiculaire sous charge
verticale uniformément répartie sur l'horizontale ;
– la chaînette, qui est la ligne funiculaire sous charge uniformément répartie le long du câble de section constante.
La méthode peut cependant être développée pour toute forme d'arc.

L'arc est de section variable, de manière à être sollicité en tout point à sa contrainte admissible.
Le câble est de section constante et correspondant à la contrainte admissible atteinte à ses naissances. Les relations
établies pour ce cas sont donc également valables pour l'arc de section constante.