Page 198 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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198 LA POUTRE DROITE CONTINUE

2. La poutre droite continue de section symétrique variable 1

2.1. LA POUTRE DROITE DE SECTION PLEINE ET RECTANGULAIRE VARIABLE
2.1.1. Éléments de réduction
Soit une poutre, de section pleine, de hauteur h(x) et de largeur b(x), l’abscisse x étant donc l’axe de la fibre neutre
horizontale de la poutre et son origine à l’extrémité gauche de cette dernière (figure 2.1.1.). x* = x L est l'abscisse
relative.

Figure 2.1.1.

Pour une force uniformément répartie p : M p = pL2 x* (1 − x* ) 2 et Tp = pL (1− 2x* ) 2 . 2.1.1.1.
Pour une force ponctuelle mobile P : MP = PLx* (1 − x* ) et TP = P (1 − x* ) . 2.1.1.2.

Le couple h(x), b(x) peut être déterminé indépendamment pour M et T car σ 2 + 3τ 2 ne présente de maxima que
pour y = ± h 2 (M prédominant) ou y = 0 (T prédominant).

2.1.2. La poutre de largeur constante

Lorsque b(x) = B est constant, le profil de h donnant le volume minimum vaut :

– lorsque le moment fléchissant prédomine : hM,p = 3pL2 x* (1 − x* ) σ B , et hM,P = 6PLx* (1 − x* ) σ B ;

il s’agit d’ellipses dont les hauteurs en x* = 1 2
valent respectivement HM,p = 3pL2 4σ B et HM,P = 3PL 2σ B , d’où :

hM = 2HM x* (1 − x* ) , tant pour p que pour P.
– lorsque l’effort tranchant prédomine : hT ,p = 3 3pL(1 − 2x* ) (4σ B) , et hT,P = 3 3P(1 − x* ) (2σ B) . Il s’agit de
droites dont les hauteurs en x* = 0 valent respectivement HT,p = 3 3pL (4σ B) et HT,P = 3 3P (2σ B) , d’où :

hT ,p = (1 − 2x* )HT ,p et hT ,P = (1 − x* )HT ,P .

( )– il en découle que HT,p = 3HM,p p 2 σ B et que HT,P = 3HM,P P 2σ LB ;

1 Les démonstrations détaillées de cette section ont été développées par J. Van Steirteghem pour les paragraphes 2.1. et 2.2.2. à 2.2.4. et par
B. Lepez pour les paragraphe 2.2.5 et 2.3. Elles se trouvent en références [2] et [3].