Page 200 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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200 LA POUTRE DROITE CONTINUE

 1  
 1 1  1 1  H 
∆T , p = 1, 04  3 − 1+ 3(H L )2  + −  L  ,
1+ (L H )2 
 3

1 1 1  2  L 2  1   L 2 16  3  H 2   L  4
3 2 −1 H 3   H  33  4  L  +1  H 
∆M,P = (1 2)( H L)2 +2 + arcsin 1−1+( 4 3)( L H )2   + 1+1+(3 4 )( H L )2  − ln 

3

= 0,52 H  1 
L 1 + arcsin 1 − 
et ∆T ,P   1 2 +(2 3)(L H )2  .


Pour de grands L H : ∆ ≈ (π − 2) L (4H ) , soit 1,37 fois l'indicateur de la section constante.

2.1.3. La poutre de hauteur constante

Lorsque h(x) = H est constant, la largeur b donnant le volume minimum vaut :

– lorsque le moment fléchissant prédomine : bM,p = 3( p σ ) x* (1− x* )( L H )2 et

bM,P = 6 P (σ L ) x* (1 − x* )( L H )2 ; il s’agit de paraboles dont les largeurs en x* = 1 2 valent

( ) ( )respectivement BM,p = 3pL2 4σ H 2 et BM,P = 3 PL 2σ H 2 , d’où :

bM = 4BM x* (1 − x* ) , tant pour p que pour P.

( )– lorsque l’effort tranchant prédomine : bT,p = 3 3 4 ( p σ )(1− 2x* ) L H , et

( )bT,P = 3 3 2 P (σ L ) (1 − x* ) L H ; il s’agit de droites dont les largeurs en x* = 0 valent respectivement

BT,p = 3 3pL (4σ H ) et BT,P = 3 3P (2σ H ) , d’où :

bT ,p = (1 − 2 x* )BT ,p et bT ,P = (1 − x* )BT ,P .

– il en découle que BT = 3BM ( H L ) , tant pour p que pour P.

( )bT ,p = bM,p pour 1 − x* et x* = 0, 5 + 3H 4L − 0, 25 + 3H 2 16L2 = 0, 5 + BT 4BM − 0, 25 + BT2 16BM2 .

bT,P = bM,P pour 1 − x* et x* = 3H (4L ) = BT 4BM . 2.1.3.1.

x* est donc très petit et ne vaut déjà plus que 0,0414 sous p et 0,043 sous P, pour L H = 10 .
– tout comme précédemment donc : B = BM . Il en découle les relations suivantes :

( )sous charge uniformément répartie : Bp = 3pL2 4σ H 2 ,

( )pour 1 − x* et x* ≤ 0,5 + 3H 4L − 0,25 + 3H 2 16L2 : bp = 3Bp (1 − 2x* ) H L ; 2.1.3.2.

( ) ( )pour 0,5 + 3H 4L − 0,25 + 3H 2 16L2 ≤ x* ≤ 0, 5 − 3H 4L + 0,25 + 3H 2 16L2 : 2.1.3.3.
2.1.3.4.
bp = 4x* (1− x* ) Bp ;

( )sous charge ponctuelle mobile : BP = 3PL 2σ H 2 ,

pour 1 − x* et x* ≤ 3H (4L) : bP = 3BP (1 − x* ) H L ; 2.1.3.5.
pour 3H (4L ) ≤ x* ≤ 1− 3H (4L ) : bP = 4x* (1 − x* ) BP . 2.1.3.6.