Page 107 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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SYNTHÈSE : INDICATEURS DE VOLUME ET DE DÉPLACEMENT D'UNE STRUCTURE ISOSTATIQUE 107

La quantité d'énergie consommée pour l'enveloppe vaut :

Es = esπ  H 2 + 1  L2 , 9.3.1.1.
L  
4 

et celle pour la structure :

Ev = evπ p  H 3 + 1 H +1 L  9.3.1.2.
4 σ L  2 L 16 H  L3 .


Il en découle que :

En = π  es  H 2 + 1  + 1 pev  H 3 + 1 H +1 L  9.3.1.3.
 L   4 σ L  2 L 16 H  L3
 L 4   

(et pour une calotte hémisphérique dont L H =2 : En = π  es + ev p  L3 ). 9.3.1.4.
2  L 4 σ 

Soit, à titre d'exemple, une calotte en béton armé avec ev = 2000 €͞m3 et σ = 10 MPa, recouverte par une étanchéité
à es = 50 €͞m2, sous une charge uniformément répartie p = 2 kN m2 . Alors :

En =π 12, 5  + 4  H 2  + 1  H 3 +1 H +1 L  L3 €, 9.3.1.5.
 L 1  L   10 L  2 L 16 
  H 

et, pour une calotte hémisphérique :

En = π  25 + 1  L3 €. 9.3.1.6.
 L 20 

L'influence de l'enveloppe est donc loin d'être négligeable, comme le montre la figure 9.3.1.1. avec L = 30 m. Pour

cette portée :

En = π  4  H 2  + 2, 7  H 3 + 1 H +1 L  k€, 9.3.1.7.
11,25 1 +  L   L  2 L 
   16 H 

qui vaut 74,93 k€ pour L H = 2 , avec un minimum de En,min ≈ 42,3 k€ pour L H ≈ 8, 5 .

L'ajout d'une ceinture augmente l'influence de la structure :

En = π  4  H 2  + 2, 7  H 3 + 3 L   k€, 9.3.1.8.
11,25 1 +  L   L  16  
   H 

qui vaut toujours 74,93 k€ pour L H = 2 , avec un minimum de En,min ≈ 48,8 k€ pour L H ≈ 5,7 .
Le même raisonnement peut être mené pour les autres membranes de révolution.

9.3.2. Couverture d'une surface ou d'un volume au moindre coût

Il s'agit maintenant de déterminer la proportion optimale pour couvrir une aire circulaire ou le volume enclos au

moindre coût.

La surface couverte par la calotte vaut :

S0 = (π 4) L2 . 9.3.2.1.

Il faut donc minimiser En S0 . Pour l'exemple du paragraphe précédent :

– coupole sans ceinture : En =   4  H 2  + 0, 4L  H 3 + 1 H + 1 L  €͞m2 ; 9.3.2.2.
S0 50 1 +  L   L  2 L 
   16 H 

toujours pour L = 30 m, ce rapport est encore minimum pour L H ≈ 8,5 et vaut ( En )S0 min ≈ 59,9 €͞m2.

– coupole avec ceinture : En =   4  H 2  + 0, 4L  H 3 + 3 L  €͞m2 ; 9.3.2.3.
S0 50 1 +  L   L  16 H 
    

toujours pour L = 30 m, ce rapport est encore minimum pour L H ≈ 5,7 et vaut ( En )S0 min ≈ 69, 0 €͞m2.