Page 206 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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206 LA POUTRE DROITE CONTINUE
2.2. LA POUTRE DROITE DE SECTION TUBULAIRE ET RECTANGULAIRE VARIABLE
2.2.1. Introduction
Les éléments de réduction sont identiques au cas précédent (voir 2.1.1.). Il convient cependant de préciser ici que
k = e B et c = H B se réfèrent à l’épaisseur e, à la largeur B et à la hauteur H au milieu de la poutre.
Pour la poutre d’épaisseur de paroi e constante, les calculs se limitent également à la seule prise en compte du
moment fléchissant, puisqu'il a été vu précédemment que l'influence de l'effort tranchant est très faible (moins de
1% pour L H ≥ 10 ).
La forme est en outre choisie de manière à ce que soit la hauteur h (0) = h (L ) = 2e , dans le cas de la hauteur varia-
ble, soit la largeur b (0) = b (L ) = 2e , dans le cas de la largeur variable. Il en découle que la quantité de matière sur
appuis est dans la plupart des cas suffisante pour reprendre l'effort tranchant.
2.2.2. La poutre de largeur et d’épaisseur de paroi constantes
Lorsque b ( x) = B et e ( x ) = e sont constants (donc k), le profil de h donnant le volume minimum vaut, sous charge
uniformément répartie ou ponctuelle mobile :
( )hM = 2B c2 − 4k2 x* (1− x* ) + k2 . 2.2.2.1.
Il s'agit d'une ellipse dont la hauteur en x* = 1 2 vaut H, donnant c = H B , et est déterminée par : 2.2.2.2.
3pL2 H (4σ ) = [BH 3 − ( B − 2e)( H − 2e)3 ] pour une charge uniformément répartie p et
3PLH (2σ ) = [BH 3 − ( B − 2e)( H − 2e)3 ] pour une charge ponctuelle mobile P. 2.2.2.3.
La figure 2.2.2.1. illustre le profil de cette poutre pour L H = 7 .
H 2e
L
Figure 2.2.2.1.
L'indicateur de volume vaut :
WM,h var,p = 1 WM,h var,P = 3 c2k π (c − 2k ) + 4 . 2.2.2.4.
2 8 c3 − (1− 2k )(c − 2k )3
Le rapport de cet indicateur à celui du tube de section constante présentant les mêmes c, k et H en milieu de portée
vaut :
WM,h var π (c − 2k) + 4 . 2.2.2.5.
WM,h const = 4(c − 2k) + 4
Ce rapport, illustré à la figure 2.2.2.2., vaut 1 lorsque c = 2k (il correspond en effet à la poutre pleine de section
constante), π 4 lorsque B tend vers zéro (il correspond au rapport des sections pleines) ou (π c 4 + 1) (c + 1) pour
les tubes infiniment minces.
La figure montre aussi que l'économie dans la zone des profilés commerciaux (zone encadrée) va de 17% pour les
tubes mis verticaux (avec H B = 4 ) à 4% pour les tubes mis à plat (avec H B = 0, 25 ).
La figure 2.2.2.3. donne l'indicateur de volume par rapport à L H en fonction de c pour différentes valeurs de k. La
zone des profilés commerciaux est encadrée et limitée par :
WM,p ( L H ) = 0,3 pour c = 0,25 et k = 0,01 et WM,p (L H ) = 0,55 pour c = 0,4 et k = 0,2.
