Page 332 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES
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332 LES MÂTS
5. Le mât prismatique à épaisseur de paroi variable
5.1. GÉNÉRALITÉS
Soit un mât prismatique, haubané et vertical, soumis à un force horizontale F, concentrée en tête ou uniformément
répartie sur sa hauteur L, y engendrant un moment fléchissant M(x) avec l’origine de l’axe x en tête du mât, présen-
tant une section tubulaire symétrique Ω(x), une largeur extérieure h(x) et une épaisseur de paroi e(x) avec
k( x) = e( x) h( x) , h(x=L) = H , e(x=L) = eL , k(x=L) = k et M(x=L) = M ,
( )Ω(x) = µ1 − 2 et 5.1.1.
e( x)h( x) e( x)
I(x) = µ2 e( x)h( 3 −3 e( x )2 h( x 2 + 4 3 − 2 e( 4 5.1.2.
x) ) x)
e(x) h(x) 5.1.3. et 5.1.4.
5.1.5.
avec µ1 = π et µ2 =π pour une section ronde, µ1 = 4 et µ2 = 2 pour une section carrée.
8 3
La contrainte maximum à l’abscisse x vaut :
σ(x) = M(x) h(x) , et à la base du tube avec I(x=L) = I :σ =M H.
2 I(x) 2 I
σ dx = M µ1 H
FL FL 2 I
∫ ∫ ( )WM L
= L 0 e( x ) h( x ) − e( x 2 dx .
)
0 Ω(x)
5.2. LE TUBE À PAROI MINCE
L’étude des tubes carrés ou ronds aux paragraphes 1.2 et 1.3. du chapitre III montre que l’hypothèse du tube infini-
( )ment mince (k = 0) sous-estime la valeur de WM d'un facteur 1 1 − 2k + 2k2 . La figure 5.2.1. illustre cette relation
et montre que cette sous-estimation est faible pour les tubes de faible épaisseur (de 6,2% par exemple pour
k = 0,03).
( )1 1− 2k + 2k 2 1,22 L’hypothèse de e très petit permet alors d’écrire :
1,2
2 Ω( x ) = µ1e(x)h(x) ; I(x) = µ2e( x)h( 3 ; 5.2.1. et 5.2.2.
x)
1,18 M( x )
1,8 1,16 σ(x) = µ2 e( x)h( 2 ; 5.2.3.
2 x)
1,14 et, à la base du tube :
1,6 1,12 σ= M .
2 µ2eL H 2
1,1 5.2.4.
1,4 1,08 L’indicateur de volume dû à la flexion vaut dès lors :
1,06 M µ1 1 L
FL 2µ2 eL H 2
∫WM = 0 e( x)h(x) dx , 5.2.5.
1,2 1,04
1,02 avec M FL = 1 ou 0,5 selon que la charge est concen-
trée en tête du mât ou uniformément répartie sur sa hau-
11 teur, et µ1 µ2 = 8 pour la section ronde ou 6 pour la
section carrée.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,1 k
Figure 5.2.1.
