Page 219 - MORPHOLOGIE DES STRUCTURES

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LA POUTRE DROITE CONTINUE 219

( ) ( ) ( )( )et 3 σ π eT ,P ( x ) H −eT ,P ( x ) H 2 −2 H eT ,P ( x )+2eT2 ,P ( x) = 2P 1− x* 3H 2 −6H eT ,P ( x )+4eT2 ,P ( x ) 2.3.4.1.
2.3.4.2.
avec, pour x* = 0 :

( ) ( ) ( )3 σ π eT ,P H −eT ,P H 2 −2 H eT ,P +2eT2 ,P = 2P 3H 2 −6 H eT ,P +4eT2 ,P sous P.

eM,p et eM,P étant fixés, les valeurs de eT ,p et eT,P s’obtiennent en éliminant σ des couples de relations 2.3.1.2. et
2.3.3.2. d’une part et 2.3.2.2. et 2.3.4.2. d’autre part, et:

eT ( x) = eT (1− 2x* ) 2.3.5.

Le tube optimisé se compose d’un cylindre évidé par un tronc de cône à partir de chaque appui reprenant T et d’un

tronçon central à paroi interne au profil longitudinal courbe (figure 2.3.1.). Les deux formes se rejoignent en un

point de coordonnée xM,T où eT ( x ) = eM ( x ) déterminé en égalant 2.3.5. à 2.3.1.1. sous p et à 2.3.2.1. sous P.

x = xM ,T

Figure 2.3.1.

Le volume de matière du tube est donc composé de l’addition de ces volumes distincts ; il en découle

( )avec kM = eM
H , kT = eT H et A = 32 kM − 3kM2 + 4kM3 − 2k 4 ;
M

  x* = xM ,T L x* =1/ 2 
1 0,5−  ∫ (1−2kT +4kT x* )2 dx* + ∫  L
Wp = 4kM (1−kM )(1−2kM +2kM2 ) A x*2 − A x* +1 dx*  H , 2.3.6.
 2.3.7.
  x* =0 x* =xM,T L

  x* =xM ,T L x* =1/ 2 
1 0,5−  ∫ (1−2kT +4kT x* )2 dx* + ∫  L
et WP = )(1−2kM +2kM2 A x*2 − A x* +1 dx*  H .

2kM (1−kM )   x* =0 x* =xM,T L

Les figures 2.3.2. et 2.3.3. illustrent ces valeurs, la zone hachurée représentant les tubes du commerce.

Les figures 2.3.4. et 2.3.5. illustrent respectivement sous charge répartie p ou ponctuelle mobile P l’économie de

matière faite avec un tube d’épaisseur variable (Wp ou WP) par rapport à celui d’épaisseur constante ( Wconst ). Elle
est pratiquement identique sous les deux cas de charges et moindre que pour le tube rectangulaire.

Les figures 2.3.6. et 2.3.7. renseignent la contribution de l’effort tranchant à Wp et WP (WM,p et WM,P étant la contri-
bution du moment fléchissant). Elle est beaucoup moindre que pour le tube rectangulaire.

L’indicateur de déplacement vaut :
– sous charge uniformément répartie p :

∆ p = ∆M,p + ∆T ,p , avec :

∆ M,p = ∆ M1,p + ∆ M 2,p où

2 L x* = xM ,T L x*2 (1− x* )
M H ∫ )) (1−2kT (1−2
∆ M1, p = 8k M (1 − kM )(1 − 2k M + 2k ) ))2 dx* ,
x* =0
kT (1−2 x* ) (1− kT (1−2 x* x* )+2( kT (1− 2 x * )

∆M 2,p = 32kM (1 − kM )(1 − 2kM + 2kM2 ) 1 L  1 − xM2 ,T  ;
A H  4 L2 
 

et ∆T ,p = ∆T1,p + ∆T 2,p où

∆T 1, p = (4 + 3ν ) kM (1 − kM )(1 − 2kM + 2kM2 ) H  − ln[1− kT ]+ ln 1 − kT + 2kT x M ,T L   ,
L 2kT2 
 
